Чтобы найти корень уравнения x = 1 + √x + 11, начнем с того, что упростим правую часть уравнения:

• Сложим 1 и 11: 1 + 11 = 12.

Теперь у нас есть уравнение:

x = 12 + √x

Следующий шаг — перенести все члены на одну сторону уравнения, чтобы привести его к стандартному виду:

• Переносим √x влево: x - √x - 12 = 0.

Теперь, чтобы решить это уравнение, выразим √x через x:

√x = x - 12

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

x = (x - 12)²

Раскроем скобки:

• (x - 12)(x - 12) = x² - 24x + 144.

Теперь у нас есть уравнение:

x = x² - 24x + 144

Переносим все члены на одну сторону:

0 = x² - 25x + 144

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант для его решения:

• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = -25, c = 144.
• D = (-25)² - 4 * 1 * 144 = 625 - 576 = 49.

Теперь, когда мы нашли дискриминант, можем найти корни уравнения с помощью формулы:

x = (-b ± √D) / 2a

Подставляем значения:

• x₁ = (25 + √49) / 2 = (25 + 7) / 2 = 32 / 2 = 16.
• x₂ = (25 - √49) / 2 = (25 - 7) / 2 = 18 / 2 = 9.

Таким образом, мы получили два корня: x₁ = 16 и x₂ = 9.

Теперь необходимо проверить, подходят ли эти значения для исходного уравнения. Подставим их обратно:

• Для x = 16: 16 = 1 + √16 + 11 = 1 + 4 + 11 = 16. (подходит)
• Для x = 9: 9 = 1 + √9 + 11 = 1 + 3 + 11 = 15. (не подходит)

Таким образом, корнем уравнения является:

x = 16.