Линейное неоднородное дифференциальное уравнение y''+4y'=10x2+1 имеет частное решение с неопределенными коэффициентами вида …

• y̅ = Ax² + Bx + C
• y̅ = Ax
• y̅ = x + 10

Другие предметы Колледж Неоднородные дифференциальные уравнения линейное неоднородное уравнение частное решение неопределенные коэффициенты Дифференциальное уравнение математика колледж Новый

Для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, такого как:

y'' + 4y' = 10x² + 1

мы будем использовать метод неопределенных коэффициентов. Этот метод позволяет нам предположить форму частного решения на основе вида правой части уравнения.

В данном случае, правая часть уравнения представлена многочленом:

10x² + 1

Это многочлен второй степени. В соответствии с методом неопределенных коэффициентов, если правая часть уравнения является многочленом степени n, то частное решение также будет многочленом степени n. Поэтому мы предполагаем, что частное решение имеет вид:

y̅ = Ax² + Bx + C

где A, B и C - это неопределенные коэффициенты, которые мы будем находить.

Теперь, чтобы найти A, B и C, нам нужно подставить это предположение в исходное дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты.

1. Находим производные y̅:
• y̅' = 2Ax + B
• y̅'' = 2A
2. Подставляем y̅, y̅' и y̅'' в уравнение:

2A + 4(2Ax + B) = 10x² + 1

3. Упрощаем уравнение:

2A + 8Ax + 4B = 10x² + 1

4. Приравниваем коэффициенты:
• Коэффициент при x²: 0 = 10 (это не соответствует, значит, A = 0)
• Коэффициент при x: 8A = 0 (A = 0)
• Свободный член: 2A + 4B = 1 (так как A = 0, то 4B = 1, отсюда B = 1/4)

Таким образом, мы получаем, что:

A = 0, B = 1/4, C = 0

Следовательно, частное решение будет иметь вид:

y̅ = 0*x² + (1/4)x + 0 = (1/4)x

Таким образом, правильный ответ:

y̅ = Ax² + Bx + C

где A, B и C - коэффициенты, которые мы определили. Это частное решение является корректным и подходит для данного уравнения.