Максималбное значение функции f (x) = lnx/x на отрезке [1; 3] равно:

• ln3/3
• 1/e
• 1/3

Другие предметы Колледж Оптимизация функции максимальное значение функции математический анализ колледж функции на отрезке логарифмическая функция оптимизация функций анализ функций Новый

Чтобы найти максимальное значение функции f(x) = ln(x)/x на отрезке [1; 3], следуем следующим шагам:

1. Найдем производную функции f(x):

Для этого воспользуемся правилом деления производных. Если u = ln(x) и v = x, то:

• u' = 1/x
• v' = 1

Теперь применяем правило деления:

f'(x) = (v * u' - u * v') / v^2 = (x * (1/x) - ln(x) * 1) / x^2 = (1 - ln(x)) / x^2

2. Найдем критические точки:

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена. Найдем, где f'(x) = 0:

1 - ln(x) = 0

ln(x) = 1

x = e

Так как e ≈ 2.718, это значение попадает в наш отрезок [1; 3].

3. Вычислим значения функции в критической точке и на границах отрезка:

Теперь мы должны вычислить значения функции f(x) на границах отрезка и в критической точке:

• f(1) = ln(1)/1 = 0
• f(3) = ln(3)/3
• f(e) = ln(e)/e = 1/e

4. Сравним значения:

Теперь сравним найденные значения:

• f(1) = 0
• f(3) = ln(3)/3
• f(e) = 1/e

5. Определим максимальное значение:

Теперь нам нужно определить, какое из этих значений является максимальным. Поскольку ln(3) ≈ 1.098, то:

• ln(3)/3 ≈ 0.366
• 1/e ≈ 0.368

Сравнив 0, 0.366 и 0.368, мы видим, что максимальное значение функции на отрезке [1; 3] равно 1/e.

Итак, максимальное значение функции f(x) = ln(x)/x на отрезке [1; 3] равно 1/e.