Чтобы найти модуль якобиана сферического отображения, давайте разберем, что такое сферическое отображение и как вычисляется его якобиан.

Сферическое отображение обычно используется для перехода от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, φ), где:

• r - радиус (расстояние от начала координат до точки),
• θ - азимутальный угол (угол в плоскости XY),
• φ - угловая координата (угол от оси Z).

Формулы преобразования из сферических координат в декартовы выглядят следующим образом:

• x = r * sin(φ) * cos(θ),
• y = r * sin(φ) * sin(θ),
• z = r * cos(φ).

Теперь, чтобы найти якобиан, нам нужно вычислить определитель матрицы якоби, состоящей из частных производных этих выражений по r, θ и φ:

Якобиан J будет иметь вид:

Теперь вычислим частные производные:

• ∂x/∂r = sin(φ) * cos(θ),
• ∂x/∂θ = -r * sin(φ) * sin(θ),
• ∂x/∂φ = r * cos(φ) * cos(θ),
• ∂y/∂r = sin(φ) * sin(θ),
• ∂y/∂θ = r * sin(φ) * cos(θ),
• ∂y/∂φ = r * cos(φ) * sin(θ),
• ∂z/∂r = cos(φ),
• ∂z/∂θ = 0,
• ∂z/∂φ = -r * sin(φ).

Теперь мы можем составить матрицу якоби:

Теперь вычисляем определитель этой матрицы. После выполнения расчетов, мы получим, что модуль якобиана J равен:

Таким образом, модуль якобиана сферического отображения равен r² * sin(φ), где r - радиус, а φ - угловая координата.