Найдите частные производные второго порядка функции z = xy + xsin y

1. ∂²z/∂x² = 0; ∂²z/∂y² = −xsiny; ∂²z/∂x∂y = 1 + cosy
2. ∂²z/∂x² = 1; ∂²z/∂y² = xsiny; ∂²z/∂x∂y = 1 + cosy
3. ∂²z/∂x² = 0; ∂²z/∂y² = xsiny; ∂²z/∂x∂y = 1 − cosy

Другие предметы Колледж Частные производные и их порядок высшая математика частные производные производные второго порядка функция z колледж математический анализ вычисление производных учебные материалы задачи по математике обучение в колледже Новый

Давайте найдем частные производные второго порядка функции z = xy + xsin(y). Для этого сначала найдем первую производную, а затем уже вычислим вторые производные.

Шаг 1: Найдем первую производную по x.

Для нахождения первой производной функции z по x, мы будем рассматривать y как константу:

• ∂z/∂x = y + sin(y).

Шаг 2: Найдем первую производную по y.

Теперь найдем первую производную функции z по y, рассматривая x как константу:

• ∂z/∂y = x + xcos(y).

Шаг 3: Найдем вторую производную по x.

Теперь мы найдем вторую производную по x, дифференцируя первую производную по x:

• ∂²z/∂x² = ∂(∂z/∂x)/∂x = ∂(y + sin(y))/∂x = 0.

Шаг 4: Найдем вторую производную по y.

Теперь найдем вторую производную по y, дифференцируя первую производную по y:

• ∂²z/∂y² = ∂(∂z/∂y)/∂y = ∂(x + xcos(y))/∂y = -xsin(y).

Шаг 5: Найдем смешанную производную ∂²z/∂x∂y.

Теперь найдем смешанную производную, сначала найдем ∂z/∂y, а затем продифференцируем по x:

• ∂²z/∂x∂y = ∂(∂z/∂y)/∂x = ∂(x + xcos(y))/∂x = 1 + cos(y).

Итак, мы получили следующие результаты для частных производных второго порядка:

• ∂²z/∂x² = 0;
• ∂²z/∂y² = -xsin(y);
• ∂²z/∂x∂y = 1 + cos(y).

Таким образом, окончательные результаты для частных производных второго порядка функции z = xy + xsin(y) следующие:

• ∂²z/∂x² = 0;
• ∂²z/∂y² = -xsin(y);
• ∂²z/∂x∂y = 1 + cos(y).