Чтобы найти интеграл ∫ (ln(x)/x) dx, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. Этот метод полезен, когда интеграл содержит произведение функций, одна из которых легко дифференцируется, а другая — интегрируется.

Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

• ∫ u dv = uv - ∫ v du

Теперь давайте применим эту формулу к данному интегралу:

1. Выберем u = ln(x). Тогда du = (1/x) dx.
2. Выберем dv = (1/x) dx. Тогда v = ∫ (1/x) dx = ln(x).

Теперь подставим все в формулу интегрирования по частям:

• ∫ (ln(x)/x) dx = ∫ u dv = uv - ∫ v du = ln(x) * ln(x) - ∫ ln(x) * (1/x) dx

Это упрощается до:

• (ln(x))^2 - ∫ (ln(x)/x) dx

Обратите внимание, что мы вернулись к первоначальному интегралу ∫ (ln(x)/x) dx. Это означает, что мы можем обозначить его как I, и у нас получится:

• I = (ln(x))^2 - I

Теперь сложим I с обеих сторон уравнения:

• 2I = (ln(x))^2

И разделим обе стороны на 2:

• I = (1/2) * (ln(x))^2 + C

Где C — константа интегрирования. Таким образом, интеграл ∫ (ln(x)/x) dx равен:

(1/2) * (ln(x))^2 + C