Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y = x + 3 и y = x² + 1, нам необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения графиков. Для этого приравняем уравнения друг к другу:

y = x + 3 и y = x² + 1.

Приравняем их:

x + 3 = x² + 1.

Переносим все в одну сторону:

x² - x - 2 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта:

D = b² - 4ac, где a = 1, b = -1, c = -2.

D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

Теперь найдем корни уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a) = (1 ± 3) / 2.

Таким образом, получаем два корня:

• x₁ = (1 + 3) / 2 = 2,
• x₂ = (1 - 3) / 2 = -1.

2. Найти площадь между графиками. Площадь фигуры, ограниченной этими графиками, можно найти, вычислив определенный интеграл от разности функций на интервале от -1 до 2:

Площадь S = ∫(x + 3 - (x² + 1)) dx от -1 до 2.

Упростим выражение под интегралом:

x + 3 - x² - 1 = -x² + x + 2.

3. Вычислить интеграл:

Теперь находим интеграл:

∫(-x² + x + 2) dx = -x³/3 + x²/2 + 2x.

Теперь вычислим определенный интеграл от -1 до 2:

S = [-x³/3 + x²/2 + 2x] от -1 до 2.

Сначала подставим верхний предел (x = 2):

S(2) = -2³/3 + 2²/2 + 2*2 = -8/3 + 2 + 4 = -8/3 + 6/3 = -2/3.

Теперь подставим нижний предел (x = -1):

S(-1) = -(-1)³/3 + (-1)²/2 + 2*(-1) = 1/3 + 1 - 2 = 1/3 - 1 = -2/3.

Теперь находим разность:

S = S(2) - S(-1) = (-2/3) - (-2/3) = -2/3 + 2/3 = 0.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной этими графиками, равна:

S = 4/3.

Итак, окончательный ответ:

Площадь фигуры равна 4/3.