Похожие вопросы
2025-09-04 18:04:36
Найдите предел lim (1 + 3 / x)³ˣ, при x ⟶ ∞
- e^9
- 0
- ∞
- e
Другие предметы Колледж Пределы и бесконечности предел высшая математика колледж лимит математический анализ предельные значения функции x стремится к бесконечности экспоненциальная функция
2025-09-04 18:04:55
Для нахождения предела lim (1 + 3 / x)³ˣ при x ⟶ ∞, давайте разберем выражение по шагам.
Шаг 1: Анализ выраженияСначала мы рассматриваем выражение (1 + 3/x) при x, стремящемся к бесконечности. Когда x становится очень большим, 3/x стремится к 0. Таким образом:
- (1 + 3/x) → 1 при x → ∞.
Теперь мы можем переписать наш предел:
- lim (1 + 3/x)³ˣ = lim (1 + 3/x)^(x * (3/x)).
Мы можем использовать известный предел, который связан с экспонентой. Напомним, что:
- lim (1 + 1/n)ⁿ = e при n → ∞.
В нашем случае мы можем выразить (1 + 3/x)³ˣ в виде:
- lim (1 + 3/x)^(x) = e^(lim (3 * ln(1 + 3/x))).
Теперь мы можем использовать разложение логарифма при малых аргументах:
- ln(1 + u) ≈ u при u → 0.
Таким образом:
- ln(1 + 3/x) ≈ 3/x при x → ∞.
Теперь подставим это в наш предел:
- lim (3 * ln(1 + 3/x)) = lim (3 * (3/x)) = 0 при x → ∞.
Теперь мы можем подставить это значение обратно:
- e^(lim (3 * ln(1 + 3/x))) = e^0 = 1.
Таким образом, предел lim (1 + 3 / x)³ˣ при x → ∞ равен 1.