Для нахождения изображений функции f(t) = sin(t) - t*cos(t) мы можем воспользоваться методом анализа производной и исследованием поведения функции. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам найти изображения данной функции.

Функция f(t) = sin(t) - t*cos(t) определена для всех значений t, так как синус и косинус определены на всей числовой прямой. Таким образом, область определения функции - это все действительные числа, t ∈ R.

Для анализа поведения функции найдем её производную:

• f'(t) = cos(t) - (cos(t) - t*sin(t)) = t*sin(t).

Теперь мы видим, что производная f'(t) = t*sin(t).

Рассмотрим, когда производная равна нулю:

• f'(t) = 0, когда t = 0 или sin(t) = 0.

Синус равен нулю при t = nπ, где n - целое число. Таким образом, критические точки функции: t = nπ.

Теперь проанализируем знак производной:

• Для t < 0: f'(t) < 0, так как t < 0 и sin(t) может быть положительным или отрицательным, но произведение будет отрицательным.
• Для t = 0: f'(0) = 0.
• Для t > 0: f'(t) > 0, так как t > 0 и sin(t) может быть положительным.

Таким образом, функция возрастает на интервале (0, +∞) и убывает на интервале (-∞, 0).

Теперь подставим критические точки в исходную функцию:

• f(0) = sin(0) - 0*cos(0) = 0.
• f(nπ) = sin(nπ) - nπ*cos(nπ) = 0 - nπ*(-1)^n = nπ*(-1)^(n+1).

Таким образом, значения функции в критических точках равны nπ*(-1)^(n+1),что показывает, что функция принимает значения как положительные, так и отрицательные в зависимости от n.

Функция f(t) = sin(t) - t*cos(t) имеет:

• Изображения, которые могут принимать все действительные значения, так как функция убывает до нуля и затем возрастает, проходя через все значения.

Таким образом, мы можем заключить, что изображение функции f(t) - это все действительные числа, R.