Для нахождения изображения функции f(t) = t * sh(t), где sh(t) – это гиперболический синус, мы сначала вспомним, что гиперболический синус определяется как:

sh(t) = (e^t - e^(-t)) / 2.

Таким образом, наша функция f(t) может быть переписана следующим образом:

f(t) = t * (e^t - e^(-t)) / 2.

Теперь давайте разложим шаги решения:

1. Определим область определения функции:
   • Функция f(t) определена для всех действительных чисел t, так как гиперболический синус существует для любого t.
2. Найдем производную функции:
   • Для нахождения изображения функции, полезно найти её производную f'(t), чтобы понять, где она возрастает или убывает.
   • Используем правило произведения: f'(t) = (t * sh(t))' = t * (sh(t))' + sh(t).
   • Зная, что (sh(t))' = ch(t) (гиперболический косинус), получаем: f'(t) = t * ch(t) + sh(t).
3. Найдем критические точки:
   • Приравняем производную к нулю: t * ch(t) + sh(t) = 0.
   • Это уравнение может быть решено численно или графически, чтобы найти значения t, при которых функция имеет локальные максимумы или минимумы.
4. Исследуем поведение функции:
   • Посмотрим на пределы функции при t стремящемся к +∞ и -∞:
   • При t → +∞: f(t) → +∞, так как оба множителя (t и sh(t)) стремятся к +∞.
   • При t → -∞: f(t) также стремится к -∞, так как t становится отрицательным, а sh(t) будет положительным.
5. Найдем значения функции в критических точках:
   • Подставим найденные критические точки в оригинальную функцию f(t), чтобы определить, какие значения она принимает.

Таким образом, мы можем определить, что изображение функции f(t) = t * sh(t) будет включать все значения от -∞ до +∞, так как функция непрерывна и проходит через все значения, меняя знак в зависимости от t.

Если вам нужно более детальное исследование или графическое представление, пожалуйста, дайте знать!