2025-04-29 21:15:39
Найти коэффициент при x3y6z12 в разложении (3x+2y2+4z3)10.
Другие предметы Колледж Комбинаторика и многочлены дискретная математика колледж коэффициент разложение биномиальная теорема комбинаторика задачи математические выражения алгебра полиномы
2025-04-29 21:16:09
Для нахождения коэффициента при x3y6z12 в разложении (3x + 2y2 + 4z3)10 мы будем использовать теорему о многочленах и формулу бинома Ньютона.
Рассмотрим выражение (3x + 2y2 + 4z3)10. Здесь у нас три термина: 3x, 2y2 и 4z3. Мы хотим узнать, как можно выбрать эти термины так, чтобы в конечном итоге получить x3y6z12.
Для этого нам нужно определить, сколько раз мы будем брать каждый из терминов:
- Пусть k1 - количество раз, когда мы берем 3x.
- Пусть k2 - количество раз, когда мы берем 2y2.
- Пусть k3 - количество раз, когда мы берем 4z3.
Мы знаем, что сумма всех этих выборов должна быть равна 10:
k1 + k2 + k3 = 10Теперь мы можем выразить степени переменных через количество выбранных терминов:
- 3x: k1 раз дает xk1, и нам нужно, чтобы k1 = 3.
- 2y2: k2 раз дает y2k2, и нам нужно, чтобы 2k2 = 6, то есть k2 = 3.
- 4z3: k3 раз дает z3k3, и нам нужно, чтобы 3k3 = 12, то есть k3 = 4.
Теперь у нас есть система уравнений:
k1 = 3k2 = 3
k3 = 4
k1 + k2 + k3 = 10
Эта система уравнений удовлетворяет всем условиям.
Теперь мы можем найти коэффициент. Для этого используем формулу для нахождения коэффициента в разложении:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)Коэффициент будет равен:
C(10, k1, k2, k3) * (3k1) * (2k2) * (4k3)Теперь подставим значения:
- C(10, 3, 3, 4) = 10! / (3! * 3! * 4!)
- 33 = 27
- 23 = 8
- 44 = 256
Теперь найдем C(10, 3, 3, 4):
C(10, 3, 3, 4) = 10! / (3! * 3! * 4!) = 2100Теперь подставим все в формулу:
Коэффициент = 2100 * 27 * 8 * 256Теперь вычислим:
- 2100 * 27 = 56700
- 56700 * 8 = 453600
- 453600 * 256 = 116121600
Таким образом, коэффициент при x3y6z12 в разложении (3x + 2y2 + 4z3)10 равен 116121600.
