Чтобы найти максимум функции f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 202, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Находим производную функции: Для начала найдем первую производную функции f(x). Это поможет нам определить критические точки, где функция может достигать максимум или минимум.

Производная функции f(x) будет:

f'(x) = 6x^2 + 6x

2. Находим критические точки: Критические точки находятся, когда производная равна нулю. Установим f'(x) = 0:

6x^2 + 6x = 0

Теперь вынесем общий множитель:

6x(x + 1) = 0

3. Решаем уравнение: У нас есть два множителя, и мы можем установить каждый из них равным нулю:
• 6x = 0 → x = 0
• x + 1 = 0 → x = -1

Таким образом, мы нашли две критические точки: x = 0 и x = -1.

4. Находим вторую производную: Чтобы определить, является ли каждая из критических точек максимумом или минимумом, нужно найти вторую производную функции:

f''(x) = 12x + 6

5. Подставляем критические точки во вторую производную:
• Для x = 0: f''(0) = 12(0) + 6 = 6 (положительное значение, значит, это минимум)
• Для x = -1: f''(-1) = 12(-1) + 6 = -6 (отрицательное значение, значит, это максимум)

Таким образом, мы определили, что в точке x = -1 функция достигает максимума.

6. Находим значение функции в точке максимума: Теперь подставим x = -1 в исходную функцию, чтобы найти значение максимума:

f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 202

f(-1) = 2(-1) + 3(1) - 202

f(-1) = -2 + 3 - 202

f(-1) = 1 - 202

f(-1) = -201

Ответ: Максимум функции f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 202 достигается в точке x = -1 и равен -201.