Найти методом Ньютона с погрешностью не превышающей 0.01, корень уравнения f(x) = 0.-In (3x) + x = 0.

Другие предметы Колледж Метод Ньютона для нахождения корней уравнений метод Ньютона вычислительные методы корень уравнения погрешность 0.01 f(x) = 0 колледж Новый

Для решения уравнения f(x) = 0 с помощью метода Ньютона, нам необходимо следовать нескольким шагам. Давайте разберем их подробно.

Шаг 1: Определим функцию и её производную.

Наша функция задана как:

f(x) = -ln(3x) + x

Теперь найдем её производную:

f'(x) = -1/(3x) * 3 + 1 = -1/x + 1 = 1 - 1/x

Шаг 2: Выберем начальное приближение.

Метод Ньютона требует начального приближения. Давайте попробуем взять x0 = 1. Это значение достаточно близко к предполагаемому корню, учитывая, что ln(3) примерно 1.1.

Шаг 3: Применим метод Ньютона.

Формула метода Ньютона выглядит следующим образом:

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Теперь будем итеративно вычислять значения x, пока не достигнем нужной точности.

Итерация 1:

• Подставляем x0 в f(x) и f'(x):
• f(1) = -ln(3*1) + 1 = -ln(3) + 1 ≈ -0.0986
• f'(1) = 1 - 1/1 = 0
• Поскольку f'(1) = 0, мы не можем продолжать с этим начальным приближением. Попробуем x0 = 2.

Итерация 2:

• f(2) = -ln(3*2) + 2 = -ln(6) + 2 ≈ -0.6131 + 2 = 1.3869
• f'(2) = 1 - 1/2 = 0.5
• Теперь вычисляем x1:
• x1 = 2 - (1.3869 / 0.5) = 2 - 2.7738 = -0.7738 (это значение не подходит, так как оно отрицательное)
• Попробуем x0 = 1.5.

Итерация 3:

• f(1.5) = -ln(3*1.5) + 1.5 = -ln(4.5) + 1.5 ≈ -1.5041 + 1.5 = -0.0041
• f'(1.5) = 1 - 1/1.5 = 0.3333
• Теперь вычисляем x1:
• x1 = 1.5 - (-0.0041 / 0.3333) ≈ 1.5 + 0.0123 ≈ 1.5123.

Итерация 4:

• f(1.5123) = -ln(3*1.5123) + 1.5123 ≈ 0.0001 (приблизительно)
• f'(1.5123) = 1 - 1/1.5123 ≈ 0.3401
• x2 = 1.5123 - (0.0001 / 0.3401) ≈ 1.5123 - 0.000294 ≈ 1.5120.

Итерация 5:

• f(1.5120) ≈ 0 (приблизительно)
• Проверяем точность: |x2 - x1| = |1.5120 - 1.5123| = 0.0003, что меньше 0.01.

Таким образом, корень уравнения f(x) = 0 методом Ньютона с погрешностью не превышающей 0.01 равен примерно 1.5120.