Чтобы найти оригинал функции F(p) = 16 / (p^4 - 16),мы можем использовать метод разложения на простейшие дроби. Давайте разберем этот процесс по шагам.

Сначала мы должны факторизовать знаменатель p^4 - 16. Это выражение является разностью квадратов:

• p^4 - 16 = (p^2 - 4)(p^2 + 4)
• Далее, p^2 - 4 также является разностью квадратов: p^2 - 4 = (p - 2)(p + 2)

Таким образом, мы можем записать:

p^4 - 16 = (p - 2)(p + 2)(p^2 + 4)

Теперь мы можем разложить F(p) на простейшие дроби:

16 / ((p - 2)(p + 2)(p^2 + 4)) = A / (p - 2) + B / (p + 2) + (Cp + D) / (p^2 + 4)

где A, B, C и D - это константы, которые нам нужно определить.

Умножим обе стороны уравнения на (p - 2)(p + 2)(p^2 + 4):

16 = A(p + 2)(p^2 + 4) + B(p - 2)(p^2 + 4) + (Cp + D)(p - 2)(p + 2)

Теперь мы можем подставлять различные значения p, чтобы найти A, B, C и D.

• Подставим p = 2:
• 16 = A(4)(8) + 0 + 0 => A = 1/2
• Подставим p = -2:
• 16 = 0 + B(-4)(8) + 0 => B = -1/2
• Подставим p = 0:
• 16 = A(2)(4) + B(-2)(4) + D(-4) => 16 = 8A - 8B - 4D
• Подставляя A и B, получаем: 16 = 8(1/2) + 8(1/2) - 4D => 16 = 8 - 4D => D = -2
• Теперь мы можем найти C, подставив обратно:
• 16 = 8(1/2) - 8(1/2) + C(0) => 16 = 0 + C(0) => C = 0

Теперь мы можем подставить найденные значения A, B, C и D обратно в разложение:

F(p) = (1/2) / (p - 2) - (1/2) / (p + 2) - 2 / (p^2 + 4)

Теперь мы можем интегрировать каждую из простейших дробей:

• ∫(1/2) / (p - 2) dp = (1/2) * ln|p - 2| + C1
• ∫(-1/2) / (p + 2) dp = (-1/2) * ln|p + 2| + C2
• ∫(-2) / (p^2 + 4) dp = -2 * (1/2) * arctan(p/2) + C3 = -arctan(p/2) + C3

Таким образом, оригинал функции F(p) будет равен:

∫F(p) dp = (1/2) * ln|p - 2| - (1/2) * ln|p + 2| - arctan(p/2) + C

Где C - произвольная константа интегрирования.