2025-07-29 06:36:14
Найти оригинал, самостоятельно выбрав метод: F(p)=(p^2-1)/(p2+1)2
Другие предметы Колледж Интегрирование комплексных функций Теория функций комплексного переменного ТФКП колледж метод нахождения оригинала F(p) комплексный анализ математические функции задачи по ТФКП решение уравнений методы анализа функций
2025-07-29 06:36:40
Для нахождения оригинала функции F(p) = (p^2 - 1) / (p^2 + 1)^2, мы можем использовать метод интегрирования. Давайте пошагово разберем, как это сделать.
Шаг 1: Упростим функцию.Сначала мы можем попытаться упростить дробь. В данном случае числитель (p^2 - 1) можно разложить:
- p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)
Таким образом, функция примет вид:
F(p) = ((p - 1)(p + 1)) / (p^2 + 1)^2
Шаг 2: Разделим дробь.Теперь мы можем попробовать разделить дробь на более простые части. Для этого воспользуемся методом частичных дробей. Мы можем записать:
F(p) = A/(p^2 + 1) + B/(p^2 + 1)^2
где A и B - это константы, которые нам нужно определить.
Шаг 3: Найдем A и B.Умножим обе стороны на (p^2 + 1)^2, чтобы избавиться от знаменателя:
(p^2 - 1) = A(p^2 + 1) + B
Теперь раскроем скобки:
p^2 - 1 = Ap^2 + A + B
Теперь мы можем сопоставить коэффициенты:
- Коэффициент при p^2: 1 = A
- Свободный член: -1 = A + B
Из первого уравнения мы видим, что A = 1. Подставим это значение во второе уравнение:
-1 = 1 + B
Следовательно, B = -2.
Шаг 4: Запишем разложение.Теперь мы можем записать функцию F(p) в виде:
F(p) = 1/(p^2 + 1) - 2/(p^2 + 1)^2
Шаг 5: Интегрируем каждую часть.Теперь мы можем интегрировать каждую часть отдельно:
- Интеграл от 1/(p^2 + 1) равен arctan(p).
- Интеграл от -2/(p^2 + 1)^2 равен 2/(p^2 + 1).
Таким образом, интеграл F(p) будет равен:
∫ F(p) dp = arctan(p) + 2/(p^2 + 1) + C,
где C - константа интегрирования.
Ответ:Оригинал функции F(p) = (p^2 - 1) / (p^2 + 1)^2 равен arctan(p) + 2/(p^2 + 1) + C.