Найти ротор вектора a = (x²+y²)i+(y²+z²)j+(z²+x²)k

Другие предметы Колледж Ротор векторного поля векторный анализ ротор вектора вычисление ротора вектор a колледж примеры векторного анализа математические методы векторная алгебра Новый

Чтобы найти ротор вектора a, который задан в виде a = (x² + y²)i + (y² + z²)j + (z² + x²)k, нам нужно воспользоваться определением ротора векторного поля. Ротор вектора a обозначается как rot a и вычисляется по формуле:

rot a = ∇ × a

Где ∇ - оператор набла, а × - знак векторного произведения. В трехмерном пространстве ротор можно вычислить с помощью определителя.

Шаги для вычисления ротора:

1. Записываем вектор a в виде его компонент:
• a₁ = x² + y²
• a₂ = y² + z²
• a₃ = z² + x²
2. Записываем оператор набла в виде:
• ∇ = (∂/∂x)i + (∂/∂y)j + (∂/∂z)k
3. Теперь составляем определитель для вычисления ротора:
• | i j k |
• | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z |
• | a₁ a₂ a₃ |
4. Теперь вычисляем этот определитель. Он равен:
• i ( ∂/∂y (a₃) - ∂/∂z (a₂) ) - j ( ∂/∂x (a₃) - ∂/∂z (a₁) ) + k ( ∂/∂x (a₂) - ∂/∂y (a₁) )
5. Теперь вычисляем производные:
• ∂/∂y (a₃) = ∂/∂y (z² + x²) = 0
• ∂/∂z (a₂) = ∂/∂z (y² + z²) = 2z
• ∂/∂x (a₃) = ∂/∂x (z² + x²) = 2x
• ∂/∂z (a₁) = ∂/∂z (x² + y²) = 0
• ∂/∂x (a₂) = ∂/∂x (y² + z²) = 0
• ∂/∂y (a₁) = ∂/∂y (x² + y²) = 2y
6. Теперь подставим эти значения в выражение для ротора:
• rot a = i (0 - 2z) - j (2x - 0) + k (0 - 2y)
7. Упрощаем выражение:
• rot a = -2zi - 2xj - 2yk

Таким образом, ротор вектора a равен:

rot a = -2zi - 2xj - 2yk