Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба графика функции заключается в следующем: если функция f(x) имеет точку перегиба в точке x = a, то в этой точке выполняется следующее условие:

• Существует вторая производная функции f''(x) в окрестности точки a.
• Знак второй производной f''(x) меняется в окрестности точки a.

Теперь давайте подробно рассмотрим доказательство достаточного условия.

1. Предположим, что в точке x = a существует вторая производная f''(a) и она меняет знак. Это значит, что в некоторой окрестности точки a знак f''(x) будет либо положительным, либо отрицательным.
2. Согласно определению, если f''(x) > 0 в некоторой окрестности точки a, то функция f(x) имеет выпуклость вверх. Если же f''(x) < 0, то функция выпуклая вниз. Таким образом, если f''(x) меняет знак, то функция f(x) переходит из выпуклости вверх в выпуклость вниз или наоборот.
3. При этом, выпуклость функции определяет, что производная f'(x) будет возрастать, когда f''(x) > 0, и убывать, когда f''(x) < 0. Это означает, что в точке x = a производная f'(x) имеет максимум или минимум.
4. Таким образом, в точке x = a производная f'(x) принимает значение, равное нулю, что указывает на изменение направления наклона графика функции. Это и есть признак точки перегиба.

В итоге, если в точке x = a вторая производная функции существует и меняет знак, то функция f(x) имеет точку перегиба в этой точке. Это и доказывает достаточное условие существования точки перегиба графика функции.