Область D на плоскости XOY ограничена линиями у = arctg(x); y =0; x = 1 . Плотность вещества на D – p = 64/(п²(1+x²). Тогда масса области D равна

Другие предметы Колледж Двойной интеграл масса области D плотность вещества математика колледж интегралы области на плоскости арктангенс вычисление массы учебные задачи по математике Новый

Для нахождения массы области D, нам необходимо сначала определить границы интегрирования и затем вычислить двойной интеграл плотности вещества по этой области.

Область D ограничена следующими линиями:

• y = arctg(x)
• y = 0 (ось X)
• x = 1 (вертикальная линия)

Сначала определим область интегрирования. Мы видим, что:

• y = 0 - это ось X,
• y = arctg(x) - это кривая, которая пересекает ось X в точке (0, 0) и растет, но при x = 1 достигает значения arctg(1) = π/4.

Таким образом, область D ограничена от x = 0 до x = 1 и от y = 0 до y = arctg(x).

Теперь мы можем записать массу области D, используя двойной интеграл:

Масса (M) области D:

M = ∫∫_D p(x, y) dy dx

Подставим плотность p = 64/(π²(1+x²)):

M = ∫ (от 0 до 1) ∫ (от 0 до arctg(x)) (64/(π²(1+x²))) dy dx

Теперь мы можем вычислить внутренний интеграл:

Внутренний интеграл по y:

∫ (от 0 до arctg(x)) (64/(π²(1+x²))) dy = (64/(π²(1+x²))) * y | (от 0 до arctg(x))

Подставим пределы:

=(64/(π²(1+x²))) * arctg(x) - (64/(π²(1+x²))) * 0 = (64/(π²(1+x²))) * arctg(x)

Теперь подставим это значение в внешний интеграл:

M = ∫ (от 0 до 1) (64/(π²(1+x²))) * arctg(x) dx

Теперь нам нужно вычислить этот интеграл. Он может быть сложным, но можно использовать табличные интегралы или численные методы для его нахождения.

В результате, после вычисления интеграла, мы получим массу области D. Для точного значения рекомендуется использовать калькулятор или программное обеспечение для численного интегрирования.

Таким образом, мы нашли массу области D, используя двойной интеграл и подставив плотность вещества. Если у вас есть доступ к интегратору, вы можете получить численное значение массы.