2025-02-24 04:11:40
Общим решением уравнения 6xdx-6ydy=2x2ydy-3xy2dx является
- y2+3=x2+4+C
- (x+4)2=C(y-2)2
- (y2+2)2=C(x2+3)3
- y2+x2=C
Другие предметы Колледж Общие решения дифференциальных уравнений математический анализ колледж уравнение решение Дифференциальные уравнения интегралы функции анализ функций математические методы учебные материалы
2025-07-19 09:15:42
Давайте разберем данное уравнение и попробуем найти его общее решение. У нас есть дифференциальное уравнение:
6x dx - 6y dy = 2x^2 y dy - 3x y^2 dx
Для начала мы упростим это уравнение. Перенесем все члены на одну сторону:
6x dx - 6y dy - 2x^2 y dy + 3x y^2 dx = 0
Теперь сгруппируем члены, содержащие dx и dy:
(6x + 3x y^2) dx = (6y + 2x^2 y) dy
Теперь мы можем выделить общий множитель:
x(6 + 3y^2) dx = y(6 + 2x^2) dy
Теперь разделим обе части уравнения на общий множитель:
(6 + 3y^2)/y dy = (6 + 2x^2)/x dx
Теперь мы можем интегрировать обе части уравнения:
- Интеграл левой части: ∫(6/y + 3y) dy
- Интеграл правой части: ∫(6/x + 2x) dx
Рассмотрим интегралы:
- Для левой части: ∫(6/y) dy + ∫3y dy = 6 ln|y| + (3/2) y^2 + C1
- Для правой части: ∫(6/x) dx + ∫2x dx = 6 ln|x| + x^2 + C2
Теперь приравняем полученные интегралы:
6 ln|y| + (3/2) y^2 + C1 = 6 ln|x| + x^2 + C2
Перенесем константы в одну сторону:
6 ln|y| + (3/2) y^2 - 6 ln|x| - x^2 = C
Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:
6 ln|y| + (3/2) y^2 - 6 ln|x| - x^2 = C
Где C - произвольная константа, которая определяется начальными условиями задачи.
