Однородные СЛАУ. Доказательство теоремы о структуре общего решения однородной СЛАУ.

Другие предметы Колледж Однородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) однородные СЛАУ теорема о структуре решения линейная алгебра аналитическая геометрия колледж доказательство теоремы общее решение СЛАУ Новый

Однородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеют вид:

A * x = 0,

где A – матрица коэффициентов, x – вектор неизвестных, а 0 – нулевой вектор.

Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ утверждает, что:

• Общее решение однородной СЛАУ может быть представлено как линейная комбинация базисных решений.
• Если ранг матрицы A равен r, то общее решение будет содержать n - r свободных параметров, где n – количество переменных.

Теперь давайте рассмотрим доказательство этой теоремы по шагам:

1. Определение ранга матрицы: Ранг матрицы A – это максимальное количество линейно независимых строк (или столбцов) в этой матрице. Он показывает, сколько уравнений в системе являются линейно независимыми.
2. Формирование расширенной матрицы: Мы можем рассмотреть расширенную матрицу, которая включает в себя матрицу A и нулевой вектор. Затем мы применяем метод Гаусса для приведения ее к ступенчатому виду.
3. Решение системы: После приведения к ступенчатому виду мы можем увидеть, сколько переменных являются основными (зависят от других) и сколько свободными (не зависят от других). Основные переменные соответствуют ненулевым строкам, а свободные переменные могут принимать любые значения.
4. Линейная комбинация базисных решений: Каждая свободная переменная может быть выделена как параметр, и для каждой основной переменной мы можем выразить ее через свободные. Таким образом, общее решение системы можно представить как линейную комбинацию базисных решений, где каждое базисное решение соответствует фиксированному значению свободной переменной.
5. Количество свободных параметров: Если ранг матрицы A равен r, то количество свободных переменных будет равно n - r. Это означает, что для каждой свободной переменной существует одно базисное решение, и общее решение будет представлено в виде линейной комбинации этих базисных решений.

Таким образом, мы доказали, что общее решение однородной СЛАУ можно выразить через базисные решения, и количество свободных параметров определяется рангом матрицы коэффициентов. Это является важным аспектом в изучении линейной алгебры, так как позволяет понять структуру решений однородных систем.