Определение ортонормированного базиса. Связь координат вектора в ортонормированном базисе и его ортогональных проекций на векторы этого базиса. Вывод формулы вычисления длины вектора, его направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ортонормированном базисе.

Другие предметы Колледж Ортонормированные базисы в линейной алгебре ортонормированный базис координаты вектора ортогональные проекции длина вектора направляющие косинусы угол между векторами линейная алгебра аналитическая геометрия колледж Новый

Определение ортонормированного базиса

Ортонормированный базис векторного пространства - это система векторов, которая удовлетворяет двум условиям:

• Все векторы базиса взаимно ортогональны, то есть скалярное произведение любых двух различных векторов равно нулю.
• Длина каждого вектора равна единице, то есть норма каждого вектора равна 1.

Таким образом, если векторы e1, e2, ..., en - это векторы ортонормированного базиса, то для любых i и j (где i ≠ j) выполняется:

• e_i • e_j = 0 (ортогональность)
• ||e_i|| = 1 (нормировка)

Связь координат вектора в ортонормированном базисе и его ортогональных проекций

Если у нас есть вектор v в n-мерном пространстве и ортонормированный базис {e1, e2, ..., en}, то координаты вектора v в этом базисе можно найти с помощью ортогональных проекций на векторы базиса:

• Координаты вектора v можно выразить как:
• v = v1 * e1 + v2 * e2 + ... + vn * en,
• где vi = v • ei - это скалярная проекция вектора v на вектор ei.

Таким образом, каждая координата вектора v в ортонормированном базисе равна скалярному произведению вектора v на соответствующий вектор базиса.

Вывод формулы вычисления длины вектора, его направляющих косинусов и угла между двумя векторами в ортонормированном базисе

1. Длина вектора v в ортонормированном базисе вычисляется по формуле:

• ||v|| = sqrt(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2),
• где vi - координаты вектора v в ортонормированном базисе.

2. Направляющие косинусы - это косинусы углов между вектором v и осями координат. Они вычисляются как:

• cos(α) = v1 / ||v||,
• cos(β) = v2 / ||v||,
• cos(γ) = vn / ||v||.

3. Угол между двумя векторами u и v в ортонормированном базисе может быть найден с помощью формулы:

• cos(θ) = (u • v) / (||u|| * ||v||),
• где θ - угол между векторами u и v.

Таким образом, все эти величины легко вычисляются в ортонормированном базисе, что значительно упрощает работу с векторами в линейной алгебре и аналитической геометрии.