Определить как ведет себя метод простой итерации для линейной системы.
-3x+y =- 1
2x+4y=10

• сходится
• расходится

Другие предметы Колледж Методы решения линейных систем уравнений метод простой итерации линейная система сходится расходится вычислительные методы колледж анализ методов решение уравнений численные методы поведение метода Новый

Для определения поведения метода простой итерации для данной линейной системы уравнений, нам нужно сначала представить систему в виде, удобном для применения этого метода. Рассмотрим систему:

• -3x + y = -1
• 2x + 4y = 10

Сначала мы можем выразить y через x из первого уравнения:

y = -1 + 3x

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

2x + 4(-1 + 3x) = 10

Раскроем скобки:

2x - 4 + 12x = 10

Соберем подобные члены:

14x - 4 = 10

Теперь решим это уравнение для x:

14x = 10 + 4

14x = 14

x = 1

Теперь, когда мы нашли значение x, подставим его обратно в выражение для y:

y = -1 + 3(1) = 2

Таким образом, мы получили решение системы: x = 1, y = 2.

Теперь давайте проанализируем, как метод простой итерации ведет себя для этой системы. Метод простой итерации требует, чтобы система была представлена в виде:

• x = g1(x, y)
• y = g2(x, y)

Где g1 и g2 - функции, которые определяют, как обновляются значения x и y на каждой итерации. В нашем случае:

• g1(y) = (y + 1) / 3
• g2(x) = (10 - 2x) / 4

Теперь мы можем проверить, будет ли метод сходиться. Для этого необходимо оценить производные функций g1 и g2 в окрестности решения (1, 2).

Для g1:

g1'(y) = 1/3

Для g2:

g2'(x) = -1/2

Теперь проверим, выполняется ли условие сходимости:

• |g1'(y)| < 1 и |g2'(x)| < 1

В нашем случае:

• |1/3| < 1 (да)
• |-1/2| < 1 (да)

Так как оба условия выполняются, метод простой итерации будет сходиться к решению данной линейной системы уравнений.

Вывод: Метод простой итерации для данной линейной системы уравнений будет сходиться.