Чтобы определить, сколько дней отпуска полагается государственному гражданскому служащему, необходимо учитывать несколько факторов, таких как стаж государственной службы и нормы, установленные законодательством.

Шаги решения:

1. Изучение законодательства: В Российской Федерации правила предоставления отпусков для государственных гражданских служащих регулируются Федеральным законом "О государственной гражданской службе Российской Федерации".
2. Определение стажа: В данном случае указано, что у служащего есть семилетний стаж государственной службы. Это важный фактор, так как продолжительность отпуска зависит от стажа. Согласно законодательству, минимальная продолжительность ежегодного основного оплачиваемого отпуска составляет 28 календарных дней.
3. Учет должности: Должность главного специалиста-эксперта может подразумевать наличие дополнительных дней отпуска, однако в общем случае для гражданских служащих с стажем от 6 до 10 лет отпуск составляет 28 дней.
4. Проверка возможных дополнительных дней: В некоторых случаях могут предоставляться дополнительные дни отпуска за особые достижения или условия труда, но это должно быть прописано в локальных нормативных актах учреждения.

Таким образом, для главного специалиста-эксперта с семилетним стажем, согласно общим правилам, полагается 28 календарных дней отпуска.

Ответ: 28 календарных дней.