Чтобы вывести уравнение параболы, давайте сначала определим, что такое парабола. Парабола – это кривая, которая может быть определена как множество точек, равных расстоянию от фиксированной точки (фокуса) и фиксированной прямой (директрисы).

Для упрощения рассмотрим параболу, открывающуюся вверх, с фокусом в точке (0, p) и директрисой, заданной уравнением y = -p. Мы будем выводить уравнение параболы в декартовой системе координат.

Шаги вывода уравнения параболы:

1. Определим точки:
   • Фокус: F(0, p)
   • Директрисса: y = -p
   • Произвольная точка на параболе: P(x, y)
2. Запишем условие равенства расстояний:

   Расстояние от точки P до фокуса F равно расстоянию от точки P до директриссы.

3. Вычислим расстояние до фокуса:

   Расстояние PF = √((x - 0)² + (y - p)²) = √(x² + (y - p)²).

4. Вычислим расстояние до директриссы:

   Расстояние PD = |y + p|.

   Так как точка P находится выше директриссы (при условии, что p > 0), то |y + p| = y + p.

5. Составим уравнение:

   Теперь мы можем записать уравнение, равное расстояниям:

   √(x² + (y - p)²) = y + p.

6. Квадратируем обе стороны уравнения:

   x² + (y - p)² = (y + p)².

7. Раскроем скобки:

   x² + (y² - 2py + p²) = (y² + 2py + p²).

   Упрощаем уравнение:

   x² + y² - 2py + p² = y² + 2py + p².

8. Сократим и упростим:

   x² - 4py = 0.

9. Запишем уравнение параболы:

   Уравнение параболы, открывающейся вверх, имеет вид:

   x² = 4py.

Таким образом, мы получили уравнение параболы, используя геометрические свойства и расстояния до фокуса и директриссы. Это уравнение можно применять для определения различных характеристик параболы, таких как фокус, директрисса и вершина параболы.