Параллелепипед построен на векторах a = 3i + 2j − 5k, b = i − j + 4k, c = i − 3j + k.
Вычислите высоту h данного параллелепипеда, если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и b.

• h = 49√323 / 323
• h = 49√323 / 3
• h = 4√323 / 323

Другие предметы Колледж Векторы и пространство параллелепипед векторы высота математика колледж вычисление параллелограмм основы геометрии линейная алгебра Новый

Чтобы найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c, нам нужно использовать формулу, которая связывает объем параллелепипеда и площадь основания.

Объем V параллелепипеда можно вычислить по формуле:

V = |(a × b) · c|

Где "×" обозначает векторное произведение, а "·" - скалярное произведение.

Сначала найдем векторное произведение векторов a и b:

1. Запишем векторы a и b в виде координат:
• a = (3, 2, -5)
• b = (1, -1, 4)
2. Вычислим векторное произведение a × b:
• Компоненты векторного произведения вычисляются по формуле:
• a × b = (a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1)
• Подставляем значения:
• a × b = (2*4 - (-5)*(-1), -5*1 - 3*4, 3*(-1) - 2*1)
• Это дает: (8 - 5, -5 - 12, -3 - 2) = (3, -17, -5)

Теперь найдем скалярное произведение (a × b) · c:

1. Запишем вектор c:
• c = (1, -3, 1)
2. Вычислим скалярное произведение:
• (a × b) · c = (3, -17, -5) · (1, -3, 1)
• Это дает: 3*1 + (-17)*(-3) + (-5)*1 = 3 + 51 - 5 = 49

Теперь мы можем найти объем V параллелепипеда:

V = |(a × b) · c| = |49| = 49

Теперь найдем площадь основания, которая является параллелограммом, построенным на векторах a и b. Площадь S параллелограмма равна:

S = |a × b|

Чтобы найти длину вектора a × b, воспользуемся найденным вектором (3, -17, -5):

1. Вычислим длину вектора:
• |a × b| = √(3² + (-17)² + (-5)²)
• Это дает: √(9 + 289 + 25) = √323

Теперь можем найти площадь основания:

S = |a × b| = √323

Теперь, зная объем V и площадь основания S, можем найти высоту h параллелепипеда:

h = V / S = 49 / √323

Таким образом, высота h параллелепипеда равна 49 / √323.

Ответ: h = 49√323 / 323.