2025-03-04 22:09:49
Плоскости п1 и п2 заданы уравнениями 2х - y + 3z + 5 = 0 и х у Ꮓ
1+2++3= 1. Определите угол ф между данными плоскостями.
Другие предметы Колледж Угол между плоскостями плоскости Угол между плоскостями уравнения плоскостей математика колледж задачи по геометрии векторы и плоскости решение задач по математике угол между векторами геометрия в колледже
2025-07-19 13:07:15
Чтобы найти угол между двумя плоскостями, заданными уравнениями, мы должны определить нормали к этим плоскостям и затем использовать скалярное произведение векторов. Уравнения плоскостей имеют вид:
- Плоскость π1: 2x - y + 3z + 5 = 0
- Плоскость π2: x + y + z = 1 (исправим опечатку в уравнении)
Каждое уравнение плоскости можно записать в виде Ax + By + Cz + D = 0, где вектор (A, B, C) является нормальным вектором к плоскости. Таким образом:
- Для π1 нормальный вектор n1 = (2, -1, 3)
- Для π2 нормальный вектор n2 = (1, 1, 1)
Угол φ между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Для нахождения этого угла используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:
cos(φ) = (n1 • n2) / (|n1| * |n2|)
- Сначала находим скалярное произведение n1 и n2:
n1 • n2 = 2*1 + (-1)*1 + 3*1 = 2 - 1 + 3 = 4 - Затем находим длины (модули) векторов n1 и n2:
|n1| = √(2^2 + (-1)^2 + 3^2) = √(4 + 1 + 9) = √14
|n2| = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3 - Теперь подставляем эти значения в формулу для косинуса угла:
cos(φ) = 4 / (√14 * √3) = 4 / √42
Наконец, чтобы найти сам угол φ, нужно взять арккосинус от полученного значения:
φ = arccos(4 / √42)
Таким образом, угол между плоскостями π1 и π2 равен φ, который можно вычислить с помощью арккосинуса на калькуляторе.
