2025-04-29 22:27:38
Плоскости π₁ и π₂ заданы уравнениями 2x − y + 3z + 5 = 0 и x / 1 + y / −2 + z / 3 = 1.
Определите угол φ между данными плоскостями.
- φ = arccos(9√14/12)
- φ = arccos(6√14/16)
- φ = arccos(3√14/14)
Другие предметы Колледж Углы между плоскостями Угол между плоскостями высшая математика колледж уравнения плоскостей определение угла φ задачи по высшей математике плоскости в пространстве решение задач по математике угол между плоскостями векторной геометрии
2025-04-29 22:28:17
Для определения угла между двумя плоскостями, заданными их уравнениями, необходимо использовать нормальные векторы этих плоскостей. Угол между плоскостями можно найти с помощью скалярного произведения нормальных векторов.
1. **Определим нормальные векторы плоскостей.**
- Для плоскости π₁, заданной уравнением 2x - y + 3z + 5 = 0, нормальный вектор n₁ будет равен (2, -1, 3).
- Для плоскости π₂, заданной уравнением x/1 + y/(-2) + z/3 = 1, сначала преобразуем его в стандартный вид. Умножим обе стороны на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей):
- 6 * (x/1) + 6 * (y/(-2)) + 6 * (z/3) = 6
- 6x - 3y + 2z = 6
2. **Найдём угол между нормальными векторами.** Угол между векторами можно найти по формуле:
cos(φ) = (n₁ * n₂) / (|n₁| * |n₂|),
где n₁ * n₂ - скалярное произведение векторов, а |n₁| и |n₂| - их длины.3. **Вычислим скалярное произведение n₁ и n₂.**
n₁ * n₂ = (2, -1, 3) * (6, -3, 2) = 2 * 6 + (-1) * (-3) + 3 * 2 = 12 + 3 + 6 = 21.
4. **Вычислим длины векторов n₁ и n₂.**
- |n₁| = √(2² + (-1)² + 3²) = √(4 + 1 + 9) = √14.
- |n₂| = √(6² + (-3)² + 2²) = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7.
5. **Подставим значения в формулу для cos(φ).**
cos(φ) = 21 / (√14 * 7) = 21 / (7√14) = 3 / √14.
6. **Теперь найдём угол φ.**
φ = arccos(3 / √14).
Таким образом, правильный ответ: φ = arccos(3√14/14).
