Плоскости π₁ и π₂ заданы уравнениями 2x − y + 3z + 5 = 0 и x / 1 + y / −2 + z / 3 = 1.
Определите угол φ между данными плоскостями.

• φ = arccos(9√14/12)
• φ = arccos(6√14/16)
• φ = arccos(3√14/14)

Другие предметы Колледж Углы между плоскостями Угол между плоскостями высшая математика колледж уравнения плоскостей определение угла φ задачи по высшей математике плоскости в пространстве решение задач по математике угол между плоскостями векторной геометрии Новый

Для определения угла между двумя плоскостями, заданными их уравнениями, необходимо использовать нормальные векторы этих плоскостей. Угол между плоскостями можно найти с помощью скалярного произведения нормальных векторов.

1. **Определим нормальные векторы плоскостей.**

• Для плоскости π₁, заданной уравнением 2x - y + 3z + 5 = 0, нормальный вектор n₁ будет равен (2, -1, 3).
• Для плоскости π₂, заданной уравнением x/1 + y/(-2) + z/3 = 1, сначала преобразуем его в стандартный вид. Умножим обе стороны на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей):
  • 6 * (x/1) + 6 * (y/(-2)) + 6 * (z/3) = 6
  • 6x - 3y + 2z = 6
  Таким образом, нормальный вектор n₂ будет равен (6, -3, 2).

2. **Найдём угол между нормальными векторами.** Угол между векторами можно найти по формуле:

cos(φ) = (n₁ * n₂) / (|n₁| * |n₂|),

где n₁ * n₂ - скалярное произведение векторов, а |n₁| и |n₂| - их длины.

3. **Вычислим скалярное произведение n₁ и n₂.**

n₁ * n₂ = (2, -1, 3) * (6, -3, 2) = 2 * 6 + (-1) * (-3) + 3 * 2 = 12 + 3 + 6 = 21.

4. **Вычислим длины векторов n₁ и n₂.**

• |n₁| = √(2² + (-1)² + 3²) = √(4 + 1 + 9) = √14.
• |n₂| = √(6² + (-3)² + 2²) = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7.

5. **Подставим значения в формулу для cos(φ).**

cos(φ) = 21 / (√14 * 7) = 21 / (7√14) = 3 / √14.

6. **Теперь найдём угол φ.**

φ = arccos(3 / √14).

Таким образом, правильный ответ: φ = arccos(3√14/14).