Чтобы найти математическое ожидание случайной величины, распределенной равномерно на интервале [a, b], мы используем формулу для математического ожидания:

E(X) = (a + b) / 2

Теперь давайте разберем, как мы пришли к этому результату:

1. Определение плотности распределения: Для равномерного распределения плотность вероятности f(x) равна 1/(b - a) на интервале [a, b]. Это означает, что вероятность нахождения случайной величины X в любом подинтервале этого интервала пропорциональна длине этого подинтервала.
2. Вычисление математического ожидания: Математическое ожидание E(X) для непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:
   • E(X) = ∫[a, b] x * f(x) dx
3. Подстановка плотности: Подставим f(x) в эту формулу:
   • E(X) = ∫[a, b] x * (1/(b - a)) dx
4. Вычисление интеграла: Теперь вычислим интеграл:
   • E(X) = (1/(b - a)) * ∫[a, b] x dx
   • Интеграл ∫ x dx = (x^2)/2, и подставляя пределы, получаем:
   • ∫[a, b] x dx = (b^2)/2 - (a^2)/2 = (b^2 - a^2)/2.
5. Подставляем обратно: Теперь подставим это значение обратно в формулу:
   • E(X) = (1/(b - a)) * ((b^2 - a^2)/2)
   • Формула (b^2 - a^2) может быть разложена как (b - a)(b + a),поэтому:
   • E(X) = (b + a) / 2.

Таким образом, математическое ожидание случайной величины с равномерным распределением на интервале [a, b] равно (a + b) / 2.

Теперь давайте посмотрим на предложенные варианты ответа:

• (а + b)/4
• (а – b)/4
• (а + b)/2
• (а – b)/2

Правильный ответ: (а + b)/2. Это соответствует нашему вычислению.