Плотность равномерного распределения дана формулой:
f(x) = 1/(b – a), если a ≤ x ≤ b, f(x) = 0, если x < 0 и x > b.
Тогда математическое ожидание случайной величины с таким распределением равно:

• (а + b)/4
• (а – b)/4
• (а + b)/2
• (а – b)/2

Другие предметы Колледж Равномерное распределение теория вероятностей математическая статистика колледж плотность равномерного распределения математическое ожидание случайная величина формула вероятности распределение вероятностей статистические методы учебный материал Новый

Чтобы найти математическое ожидание случайной величины, распределенной равномерно на интервале [a, b], мы используем формулу для математического ожидания:

E(X) = (a + b) / 2

Теперь давайте разберем, как мы пришли к этому результату:

1. Определение плотности распределения: Для равномерного распределения плотность вероятности f(x) равна 1/(b - a) на интервале [a, b]. Это означает, что вероятность нахождения случайной величины X в любом подинтервале этого интервала пропорциональна длине этого подинтервала.
2. Вычисление математического ожидания: Математическое ожидание E(X) для непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:
   • E(X) = ∫[a, b] x * f(x) dx
3. Подстановка плотности: Подставим f(x) в эту формулу:
   • E(X) = ∫[a, b] x * (1/(b - a)) dx
4. Вычисление интеграла: Теперь вычислим интеграл:
   • E(X) = (1/(b - a)) * ∫[a, b] x dx
   • Интеграл ∫ x dx = (x^2)/2, и подставляя пределы, получаем:
   • ∫[a, b] x dx = (b^2)/2 - (a^2)/2 = (b^2 - a^2)/2.
5. Подставляем обратно: Теперь подставим это значение обратно в формулу:
   • E(X) = (1/(b - a)) * ((b^2 - a^2)/2)
   • Формула (b^2 - a^2) может быть разложена как (b - a)(b + a), поэтому:
   • E(X) = (b + a) / 2.

Таким образом, математическое ожидание случайной величины с равномерным распределением на интервале [a, b] равно (a + b) / 2.

Теперь давайте посмотрим на предложенные варианты ответа:

• (а + b)/4
• (а – b)/4
• (а + b)/2
• (а – b)/2

Правильный ответ: (а + b)/2. Это соответствует нашему вычислению.