По каналу связи, подверженному воздействию помех, передается одна из двух команд управления в виде кодовых комбинации 11111 или 00000, причем априорные вероятности передачи этих команд соответственно равны 0,7 и 0,3. Из-за наличия помех вероятность правильного приема каждого из символов (1 и 0) уменьшается до 0,6. Предполагается, что символы кодовых комбинаций искажаются независимо друг от друга. На входе приемного устройства зарегистрирована комбинация 10110. Определить, какая команда была передана?

Другие предметы Колледж Байесовский анализ теория вероятностей математическая статистика колледж кодовые комбинации вероятности передачи помехи в канале прием символов искажение символов задача по вероятности команда управления Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать теорему Байеса, которая позволяет находить условные вероятности. Нам нужно определить, какая команда была передана, основываясь на полученной комбинации 10110.

Обозначим события:

• A1: была передана команда 11111.
• A2: была передана команда 00000.
• B: получена комбинация 10110.

Сначала запишем априорные вероятности:

• P(A1) = 0,7
• P(A2) = 0,3

Теперь найдем вероятность получения комбинации 10110 при условии, что была передана каждая из команд.

1. **Вероятность P(B|A1)** (если была передана команда 11111):

• Комбинация 11111 искажается в 10110 следующим образом:
• 1 → 1 (вероятность 0,6)
• 1 → 0 (вероятность 0,4)
• 1 → 1 (вероятность 0,6)
• 1 → 1 (вероятность 0,6)
• 1 → 0 (вероятность 0,4)

Таким образом, вероятность P(B|A1) равна:

P(B|A1) = 0,6 * 0,4 * 0,6 * 0,6 * 0,4 = 0,6^3 * 0,4^2 = 0,216 * 0,16 = 0,03456.

2. **Вероятность P(B|A2)** (если была передана команда 00000):

• Комбинация 00000 искажается в 10110 следующим образом:
• 0 → 1 (вероятность 0,4)
• 0 → 0 (вероятность 0,6)
• 0 → 1 (вероятность 0,4)
• 0 → 1 (вероятность 0,4)
• 0 → 0 (вероятность 0,6)

Таким образом, вероятность P(B|A2) равна:

P(B|A2) = 0,4 * 0,6 * 0,4 * 0,4 * 0,6 = 0,4^3 * 0,6^2 = 0,064 * 0,36 = 0,02304.

Теперь мы можем найти полные вероятности P(B) для каждой команды:

P(B) = P(B|A1) * P(A1) + P(B|A2) * P(A2).

P(B) = 0,03456 * 0,7 + 0,02304 * 0,3 = 0,024192 + 0,006912 = 0,031104.

Теперь вычислим условные вероятности P(A1|B) и P(A2|B) с использованием теоремы Байеса:

1. **Вероятность P(A1|B)**:

P(A1|B) = P(B|A1) * P(A1) / P(B) = 0,03456 * 0,7 / 0,031104 = 0,024192 / 0,031104 ≈ 0,7778.

2. **Вероятность P(A2|B)**:

P(A2|B) = P(B|A2) * P(A2) / P(B) = 0,02304 * 0,3 / 0,031104 = 0,006912 / 0,031104 ≈ 0,2222.

Теперь мы можем сделать вывод:

Вероятность того, что была передана команда 11111, составляет примерно 0,7778, а вероятность того, что была передана команда 00000, составляет примерно 0,2222.

Ответ: Скорее всего, была передана команда 11111.