Чтобы понять, какие суждения могут быть одновременно ложными по правилам логического квадрата, давайте разберем каждую пару суждений по отдельности.

1. Ни один студент 111 группы не подготовился к семинару
   • Это суждение утверждает, что все студенты 111 группы не подготовились.
2. Некоторые студенты 111 группы подготовились к семинару
   • Это суждение утверждает, что хотя бы один студент из 111 группы подготовился.

Эти два суждения противоречат друг другу: если первое суждение истинно, то второе обязательно ложно, и наоборот. Таким образом, они не могут быть одновременно ложными.

3. Любое знание полезно
   • Это суждение утверждает, что все знания имеют полезность.
4. Некоторые знания все же бесполезны
   • Это суждение утверждает, что хотя бы одно знание является бесполезным.

Эти два суждения также противоречат друг другу. Если первое суждение истинно, то второе обязательно ложно, и наоборот. Следовательно, они не могут быть одновременно ложными.

5. Некоторые студенты хорошо знают логику
   • Это суждение утверждает, что хотя бы один студент хорошо знает логику.
6. Многие студенты плохо знают логику
   • Это суждение утверждает, что есть значительное количество студентов, которые плохо знают логику.

Эти два суждения не противоречат друг другу. Например, некоторые студенты могут хорошо знать логику, в то время как другие могут плохо знать. Поэтому они могут быть одновременно ложными.

7. Ни один подложный документ не является доказательством
   • Это суждение утверждает, что все подложные документы не могут служить доказательством.
8. Все подложные документы являются доказательством
   • Это суждение утверждает, что все подложные документы действительно являются доказательством.

Эти два суждения также противоречат друг другу. Если первое суждение истинно, то второе обязательно ложно, и наоборот. Таким образом, они не могут быть одновременно ложными.

Вывод: В результате, из предложенных суждений одновременно ложными могут быть только:

• Некоторые студенты хорошо знают логику
• Многие студенты плохо знают логику