Понятие ранга матрицы. Доказательство критерия Кронекера-Капелли Совместимости СЛАУ.

Другие предметы Колледж Ранг матрицы и системы линейных уравнений понятие ранга матрицы критерий Кронекера-Капелли совместимость СЛАУ линейная алгебра аналитическая геометрия матричная теория решение систем уравнений колледж математические методы линейные преобразования Новый

Понятие ранга матрицы

Ранг матрицы – это максимальное количество линейно независимых строк или столбцов этой матрицы. Ранг показывает, насколько "информационно насыщенной" является матрица, и отражает размерность пространства, в котором находятся векторы, задаваемые строками или столбцами матрицы.

Формально, ранг матрицы можно определить следующим образом:

• Если матрица имеет размер m x n, то её ранг может принимать значения от 0 до min(m, n).
• Ранг равен k, если существует подматрица размером k x k, определитель которой не равен нулю, и все остальные подматрицы размером (k+1) x (k+1) имеют нулевой определитель.

Доказательство критерия Кронекера-Капелли совместимости СЛАУ

Критерий Кронекера-Капелли позволяет определить, имеет ли система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решения, и если да, то сколько решений она имеет. Система имеет решения тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы (которая включает в себя свободные члены).

Рассмотрим систему уравнений Ax = b, где A – матрица коэффициентов, x – вектор неизвестных, b – вектор свободных членов.

1. Сначала находим ранг матрицы A, обозначим его как r(A).
2. Затем формируем расширенную матрицу [A|b] и находим её ранг, обозначим его как r([A|b]).
3. Сравниваем ранги:
• Если r(A) < r([A|b]), то система несовместна и не имеет решений.
• Если r(A) = r([A|b]), то система совместна.
4. Теперь рассмотрим количество решений:
• Если r(A) = r([A|b]) = n (где n – количество переменных), то система имеет единственное решение.
• Если r(A) = r([A|b]) < n, то система имеет бесконечно много решений.

Таким образом, критерий Кронекера-Капелли дает четкое понимание о совместимости системы линейных уравнений и количестве её решений, основываясь на рангах соответствующих матриц.