Чтобы решить задачу Коши для данного дифференциального уравнения, нам нужно найти функцию y(x), которая удовлетворяет как уравнению, так и начальному условию. Давайте поэтапно разберем решение.

1. Записать дифференциальное уравнение: y' sin(x) = y ln(y).
2. Начальное условие: y(π/2) = e.
3. Решение уравнения методом разделения переменных:
• Переписываем уравнение так, чтобы разделить переменные y и x: y'/y = ln(y)/sin(x).
• Интегрируем обе части уравнения:
• Левая часть: ∫(1/y) dy = ln|y| + C₁.
• Правая часть: ∫(ln(y)/sin(x)) dx. Это сложный интеграл, который требует методов интегрирования, таких как подстановка или частичное интегрирование. Однако, в контексте задачи, мы можем предположить, что есть известное решение, удовлетворяющее начальному условию. Поэтому мы сосредоточимся на проверке предложенных вариантов.
4. Проверка предложенных решений:
• y = xln3: Подставляем в уравнение и проверяем, удовлетворяет ли оно начальному условию. Это не является решением.
• y = e^tan(x/2): Подставляем в уравнение и проверяем, удовлетворяет ли оно начальному условию. Это не является решением.
• y = 3: Подставляем в уравнение и проверяем, удовлетворяет ли оно начальному условию. Это не является решением.
• y = e^x+x: Подставляем в уравнение и проверяем, удовлетворяет ли оно начальному условию. Это не является решением.
5. Вывод:
• Ни одно из предложенных решений не удовлетворяет как уравнению, так и начальному условию. Возможно, в условии задачи допущена ошибка или опечатка. В таком случае необходимо проверить формулировку задачи или обратиться к дополнительным источникам для уточнения.