Для решения этой задачи мы будем использовать свойства прямоугольника и понятие максимизации площади при заданном периметре.

1. Определим переменные:

• Обозначим длину прямоугольника как L.
• Обозначим ширину прямоугольника как W.

2. Запишем уравнение для периметра:

Периметр P прямоугольника равен 2L + 2W. Мы знаем, что периметр нашей площадки составляет 120 м, поэтому:

2L + 2W = 120.

3. Упростим уравнение:

Разделим обе стороны уравнения на 2:

L + W = 60.

4. Выразим одну переменную через другую:

Выразим W через L:

W = 60 - L.

5. Запишем уравнение для площади:

Площадь S прямоугольника равна произведению длины на ширину:

S = L * W.

Подставим выражение для W:

S = L * (60 - L).

6. Упростим уравнение для площади:

Теперь у нас есть:

S = 60L - L^2.

7. Максимизация площади:

Чтобы найти максимальное значение площади, мы можем воспользоваться методом нахождения производной:

Находим производную S по L:

S' = 60 - 2L.

8. Приравняем производную к нулю:

60 - 2L = 0.

Решим это уравнение:

2L = 60,

L = 30.

9. Найдем значение W:

Теперь подставим L в уравнение для W:

W = 60 - L = 60 - 30 = 30.

10. Вывод:

Таким образом, размеры прямоугольной площадки, которая будет иметь наибольшую площадь, равны:

• Длина (L) = 30 м
• Ширина (W) = 30 м

Эта площадка является квадратом со стороной 30 м, и её площадь составит 900 м².