Для решения задачи Коши, давайте начнем с уравнения, которое нам дано:

y' = 3x^2

Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Мы можем решить его, интегрируя обе стороны. Начнем с интегрирования:

Шаг 1: Интегрирование

• Интегрируем правую часть уравнения:

y = ∫(3x^2) dx

y = x^3 + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Шаг 2: Применение начального условия

Теперь нам нужно использовать начальное условие y(0) = -1, чтобы найти значение C.

Подставим x = 0 в уравнение:

-1 = (0)^3 + C

Таким образом, C = -1.

Шаг 3: Записываем общее решение

Теперь мы можем записать общее решение задачи Коши:

y = x^3 - 1.

Шаг 4: Проверка решения

Давайте проверим, удовлетворяет ли найденное решение начальному условию:

При x = 0:

y = (0)^3 - 1 = -1.

Это соответствует нашему начальному условию, значит, решение верное.

Ответ:

y = x^3 - 1.

Теперь давайте рассмотрим вторую часть вашего вопроса, где у нас есть несколько уравнений:

• y + x^2 = 0
• -y - x^4 = 1
• -2y + x^3 = 4
• -y - 2x^3 = 1
• -y + x^3 = 1

Каждое из этих уравнений можно решить отдельно, но сначала давайте посмотрим на первое уравнение:

y + x^2 = 0

Отсюда мы можем выразить y:

y = -x^2.

Теперь подставим это значение y в остальные уравнения, чтобы проверить, удовлетворяют ли они этому решению.

Подстановка в уравнения:

1. Для уравнения -y - x^4 = 1:

-(-x^2) - x^4 = 1 => x^2 - x^4 = 1.

2. Для уравнения -2y + x^3 = 4:

-2(-x^2) + x^3 = 4 => 2x^2 + x^3 = 4.

3. Для уравнения -y - 2x^3 = 1:

-(-x^2) - 2x^3 = 1 => x^2 - 2x^3 = 1.

4. Для уравнения -y + x^3 = 1:

-(-x^2) + x^3 = 1 => x^2 + x^3 = 1.

Каждое из этих уравнений можно решать отдельно, но это уже зависит от того, какое конкретное уравнение вы хотите решить. Если вам нужно конкретное решение для одного из этих уравнений, пожалуйста, уточните, и я помогу вам с решением!