2025-08-25 00:28:32
Результат вычисления интеграла ∫ x⁻⁴dx, x=1..+∞ составляет …
- 1/3
- 3
- 1
Другие предметы Колледж Неопределенные интегралы и их применение высшая математика интеграл вычисление интеграла колледж математика для колледжа интеграл от x⁻⁴ пределы интегрирования математический анализ задачи по математике учебные материалы по высшей математике Новый
2025-08-25 00:28:42
Давайте разберем, как вычислить интеграл ∫ x⁻⁴ dx на интервале от 1 до +∞.
Шаг 1: Запись определенного интегралаМы хотим вычислить интеграл:
∫ (от 1 до +∞) x⁻⁴ dx.
Шаг 2: Преобразование интегралаПоскольку верхний предел интегрирования равен +∞, мы можем выразить этот интеграл как предел:
∫ (от 1 до +∞) x⁻⁴ dx = lim (b → +∞) ∫ (от 1 до b) x⁻⁴ dx.
Шаг 3: Вычисление неопределенного интегралаТеперь найдем неопределенный интеграл ∫ x⁻⁴ dx. Для этого используем правило интегрирования:
- ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.
В нашем случае n = -4, поэтому:
∫ x⁻⁴ dx = (x^(-4 + 1))/(-4 + 1) + C = (x^(-3))/(-3) + C = -1/(3x³) + C.
Шаг 4: Подстановка пределов интегрированияТеперь подставим пределы от 1 до b:
∫ (от 1 до b) x⁻⁴ dx = [-1/(3x³)] (от 1 до b) = [-1/(3b³)] - [-1/(3*1³)].
Это упрощается до:
[-1/(3b³) + 1/3].
Шаг 5: Вычисление пределаТеперь мы можем взять предел, когда b стремится к +∞:
lim (b → +∞) [-1/(3b³) + 1/3] = 0 + 1/3 = 1/3.
Шаг 6: ОтветТаким образом, результат вычисления интеграла:
∫ (от 1 до +∞) x⁻⁴ dx = 1/3.
Ответ, который вы указали (1/331), не соответствует правильному результату. Правильный ответ - 1/3.
