Сделайте выводы об устойчивости фильтра, заданного уравнением:
y(n) + fq y(n-1) + a2 y(n-2)=
x(n) + b1 x(n-1)
a1=1; a2=0.25; b1=0

• устойчив
• мало данных
• неустойчив

Другие предметы Колледж Устойчивость цифровых фильтров Цифровая обработка сигналов устойчивость фильтра выводы по фильтру уравнение фильтра анализ устойчивости колледж ЦОС сигнал и шум параметры фильтра цифровые фильтры обработка сигналов Новый

Для определения устойчивости фильтра, заданного разностным уравнением, необходимо проанализировать его характеристическое уравнение. Давайте разберем шаги, которые помогут нам сделать выводы об устойчивости данного фильтра.

1. Определите коэффициенты фильтра:
   • Уравнение фильтра: y(n) + fq y(n-1) + a2 y(n-2) = x(n) + b1 x(n-1)
   • Заданные значения: a1 = 1, a2 = 0.25, b1 = 0
   • Таким образом, уравнение можно переписать как: y(n) + fq y(n-1) + 0.25 y(n-2) = x(n)
2. Составьте характеристическое уравнение:
   • Характеристическое уравнение формируется из однородной части разностного уравнения:
   • y(n) + fq y(n-1) + 0.25 y(n-2) = 0
   • Замена y(n) на r^n приводит к характеристическому уравнению: r^2 + fq r + 0.25 = 0
3. Найдите корни характеристического уравнения:
   • Корни находятся с использованием квадратного уравнения: r = [-fq ± sqrt((fq)^2 - 4*0.25)] / 2
   • Это упростится до: r = [-fq ± sqrt(fq^2 - 1)] / 2
4. Определите устойчивость фильтра:
   • Фильтр будет устойчивым, если все корни характеристического уравнения находятся внутри единичного круга на комплексной плоскости, то есть |r| < 1 для каждого корня.
   • Для этого необходимо, чтобы дискриминант (fq^2 - 1) был отрицательным, что обеспечит комплексные корни с модулем меньше единицы, или чтобы вещественные корни были по модулю меньше единицы.
5. Сделайте вывод:
   • Если fq^2 < 1, то дискриминант отрицательный, и корни будут комплексными с модулем меньше единицы, что гарантирует устойчивость фильтра.
   • Если fq^2 ≥ 1, то необходимо проверить модуль вещественных корней.

Таким образом, устойчивость фильтра зависит от значения параметра fq. Если fq^2 < 1, то фильтр будет устойчивым. В противном случае, необходимо дополнительно проверить модуль корней.