СЛАУ. Различные формы записи СЛАУ. Доказательство теоремы Кронекера-Капелли.

Другие предметы Колледж Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) СЛАУ формы записи СЛАУ теорема Кронекера-Капелли линейная алгебра аналитическая геометрия колледж Системы линейных уравнений матричная форма решение СЛАУ свойства матриц Новый

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) представляют собой набор линейных уравнений, которые можно записать в различных формах. Основные формы записи СЛАУ включают:

• Матричная форма: СЛАУ можно записать в виде Ax = b, где A - матрица коэффициентов, x - вектор переменных, b - вектор свободных членов.
• Векторная форма: СЛАУ может быть представлена как сумма векторов: x1 * a1 + x2 * a2 + ... + xn * an = b, где a1, a2, ..., an - векторы столбцов матрицы A.
• Система уравнений: Каждое уравнение записывается отдельно, например:
  • a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b1
  • c1*x1 + c2*x2 + ... + cn*xn = b2

Теорема Кронекера-Капелли утверждает, что система линейных уравнений имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов A равен рангу расширенной матрицы (матрицы с добавленным столбцом свободных членов) B. Формально это можно записать так:

Если r(A) - ранг матрицы A, r(B) - ранг расширенной матрицы B, то:

• Если r(A) = r(B), то система имеет хотя бы одно решение.
• Если r(A) < r(B), то система не имеет решений.
• Если r(A) = r(B) = n (где n - количество переменных), то система имеет единственное решение.
• Если r(A) = r(B) < n, то система имеет бесконечно много решений.

Доказательство теоремы Кронекера-Капелли можно разбить на несколько шагов:

1. Определение ранга: Ранг матрицы - это максимальное число линейно независимых строк или столбцов в матрице. Мы рассматриваем ранг матрицы A и расширенной матрицы B.
2. Существование решений: Если r(A) = r(B), это означает, что количество линейно независимых уравнений соответствует количеству линейно независимых комбинаций свободных членов. Поэтому решения существуют.
3. Отсутствие решений: Если r(A) < r(B), это значит, что есть дополнительные ограничения, которые не могут быть выполнены одновременно с уравнениями, которые задает матрица A. В этом случае решений нет.
4. Количество решений: Если r(A) = r(B) = n, то система определена и имеет единственное решение. Если r(A) = r(B) < n, то есть больше переменных, чем уравнений, система имеет бесконечно много решений.

Таким образом, теорема Кронекера-Капелли дает мощный инструмент для анализа систем линейных уравнений и позволяет определить условия существования и количества решений.