Давайте разберем ваше утверждение о средних арифметических и их состоятельности как оценок математического ожидания.

Среднее арифметическое действительно является состоятельной оценкой математического ожидания, но это утверждение не ограничивается только нормальным распределением. Состоятельность оценки означает, что с увеличением объема выборки оценка будет сходиться к истинному значению параметра. Это свойство выполняется для многих распределений, если они имеют конечное математическое ожидание.

Математическое ожидание существует, если интеграл (или сумма для дискретного распределения) от функции распределения конечен. Если математическое ожидание существует, это не означает, что дисперсия также существует. Например, в случае распределения Коши математическое ожидание не существует, и, соответственно, дисперсия тоже.

Дисперсия является мерой разброса значений вокруг математического ожидания. Если распределение имеет конечное математическое ожидание, это не гарантирует существование дисперсии. Например, некоторые распределения могут иметь конечное математическое ожидание, но бесконечную дисперсию.

Бимодальное распределение имеет два пика и может иметь различные свойства. Среднее арифметическое может не отражать характер распределения, если оно бимодальное, так как оно может находиться между двумя пиками, что не является хорошей оценкой центральной тенденции. Однако, в случае большого объема выборки, среднее арифметическое все равно будет состоятельной оценкой математического ожидания, если оно существует.

Таким образом, среднее арифметическое является состоятельной оценкой математического ожидания не только для нормального распределения, а для многих других, при условии, что математическое ожидание существует. Дисперсия и математическое ожидание могут существовать независимо друг от друга. Бимодальные распределения могут усложнять интерпретацию среднего арифметического, но это не отменяет его состоятельности.