Существует уравнение касательной к прямой в x = −1 функции y = x² / (x + 2)².
Найдите уравнение касательной.

• y=-4x-3.
• y = 4x + 3.
• y = (−4x − 3) / 2.

Другие предметы Колледж Уравнения касательных Уравнение касательной высшая математика колледж функции производная x = -1 y = x² / (x + 2)² нахождение касательной график функции обучение математике Новый

Для нахождения уравнения касательной к функции y = x² / (x + 2)² в точке x = -1, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите значение функции в точке x = -1.

Подставим x = -1 в уравнение функции:

• y = (-1)² / ((-1) + 2)² = 1 / (1)² = 1.

Таким образом, точка касания имеет координаты (-1, 1).

2. Найдите производную функции.

Для нахождения производной используем правило деления:

Если f(x) = g(x) / h(x), то f'(x) = (g'(x)h(x) - g(x)h'(x)) / (h(x))².

В нашем случае:

• g(x) = x², g'(x) = 2x;
• h(x) = (x + 2)², h'(x) = 2(x + 2).

Теперь подставим в формулу производной:

• f'(x) = (2x(x + 2)² - x² * 2(x + 2)) / ((x + 2)²)².

Упрощаем производную:

• f'(x) = (2x(x + 2) - 2x²) / (x + 2)² = (2x² + 4x - 2x²) / (x + 2)² = (4x) / (x + 2)².
3. Найдите значение производной в точке x = -1.

Теперь подставим x = -1 в производную:

• f'(-1) = (4 * (-1)) / ((-1 + 2)²) = -4 / (1) = -4.

Таким образом, наклон касательной в точке x = -1 равен -4.

4. Запишите уравнение касательной.

Уравнение касательной в точке (x₀, y₀) имеет вид:

y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀).

Подставим наши значения:

• x₀ = -1, y₀ = 1, f'(-1) = -4.

Тогда уравнение касательной будет:

• y - 1 = -4(x + 1).

Упростим это уравнение:

• y - 1 = -4x - 4;
• y = -4x - 3.

Таким образом, уравнение касательной к функции y = x² / (x + 2)² в точке x = -1:

y = -4x - 3.