Теорема Коши-Адамар является важным результатом в теории рядов и используется для определения радиуса сходимости степенных рядов. Эта теорема дает способ нахождения радиуса сходимости ряда, который имеет вид:

Сумма от n=0 до бесконечности (a_n * x^n), где a_n - коэффициенты ряда, а x - переменная.

Формулировка теоремы: Радиус сходимости R степенного ряда Сумма от n=0 до бесконечности (a_n * x^n) определяется как:

1/R = lim sup (n -> бесконечности) (|a_n|)^(1/n),

где lim sup обозначает верхний предел последовательности.

Доказательство теоремы Коши-Адамар:

1. Определение радиуса сходимости: Мы хотим определить радиус, в пределах которого ряд сходится. Для этого мы рассмотрим последовательность |a_n|^(1/n).
2. Верхний предел: Поскольку последовательность |a_n|^(1/n) может не иметь предела, мы используем верхний предел (lim sup), который позволяет нам учитывать поведение последовательности на бесконечности.
3. Сходимость ряда: Если lim sup (|a_n|)^(1/n) < 1/R, то ряд сходится. Если lim sup (|a_n|)^(1/n) > 1/R, то ряд расходится. Если lim sup (|a_n|)^(1/n) = 1/R, то ряд может сходиться или расходиться, и необходимо проверять сходимость отдельно.
4. Сравнение с геометрической прогрессией: Мы можем сравнить наш ряд с геометрической прогрессией, чтобы понять, как ведет себя ряд в зависимости от значения x и R.
5. Вывод: Таким образом, мы пришли к выводу, что радиус сходимости R можно определить через верхний предел последовательности |a_n|^(1/n) и это и есть теорема Коши-Адамар.

Эта теорема является основополагающей для анализа сходимости степенных рядов и широко используется в математическом анализе.