Теорема о среднем для интегралов утверждает, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то существует такое число c из этого отрезка, что:

1. Формулировка теоремы:

Существует c ∈ [a, b], такое что:

f(c) = (1/(b-a)) * ∫_a^b f(x) dx

Это означает, что существует значение функции f в некоторой точке c, равное среднему значению функции на отрезке [a, b].

2. Доказательство теоремы:

Доказательство основывается на свойствах непрерывных функций и теореме о промежуточном значении. Рассмотрим следующие шаги:

1. Шаг 1: Определим среднее значение функции f на отрезке [a, b]. Это значение обозначим как M:
• M = (1/(b-a)) * ∫_a^b f(x) dx
2. Шаг 2: Поскольку f(x) непрерывна на [a, b], по теореме о промежуточном значении, функция f достигает своих максимума и минимума на этом отрезке. Обозначим:
• m = min{f(x) : x ∈ [a, b]}
• M = max{f(x) : x ∈ [a, b]}
3. Шаг 3: По свойствам интеграла, мы знаем, что:
• m * (b - a) ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ M * (b - a)
4. Шаг 4: Разделив все части неравенства на (b - a), получаем:
• m ≤ (1/(b-a)) * ∫_a^b f(x) dx ≤ M
5. Шаг 5: Это означает, что значение (1/(b-a)) * ∫_a^b f(x) dx находится между минимумом и максимумом функции f на отрезке [a, b].
6. Шаг 6: Следовательно, по теореме о промежуточном значении, существует хотя бы одна точка c ∈ [a, b], такая что f(c) = (1/(b-a)) * ∫_a^b f(x) dx.

Таким образом, мы доказали теорему о среднем для интегралов. Эта теорема очень полезна, так как позволяет находить средние значения функций и применять их в различных задачах математического анализа.