Теорема о сведении кратных интегралов к повторным интегралам является важным инструментом в многомерном анализе. Она позволяет вычислять кратные интегралы, разбивая их на последовательные интегралы по каждому из измерений. Давайте рассмотрим формулировку теоремы и её доказательство.

Формулировка теоремы:

Если функция f(x, y) непрерывна на прямоугольной области D = [a, b] x [c, d], то кратный интеграл по области D можно выразить через повторные интегралы:

∫∫_D f(x, y) dA = ∫_a^b ( ∫_c^d f(x, y) dy ) dx = ∫_c^d ( ∫_a^b f(x, y) dx ) dy

Доказательство:

Для доказательства теоремы мы воспользуемся свойствами определенного интеграла и непрерывностью функции.

1. Определение области интегрирования: Рассмотрим прямоугольную область D = [a, b] x [c, d]. Это означает, что x принимает значения от a до b, а y принимает значения от c до d.
2. Внутренний интеграл: Начнем с вычисления внутреннего интеграла ∫_c^d f(x, y) dy. Поскольку f(x, y) непрерывна, этот интеграл существует и является функцией от x. Обозначим его как F(x):

   F(x) = ∫_c^d f(x, y) dy

3. Внешний интеграл: Теперь мы можем выразить кратный интеграл через F(x):

   ∫∫_D f(x, y) dA = ∫_a^b F(x) dx = ∫_a^b ( ∫_c^d f(x, y) dy ) dx

4. Смена порядка интегрирования: Теперь рассмотрим интеграл, меняя порядок интегрирования. Мы можем сначала интегрировать по x, а затем по y:

   ∫∫_D f(x, y) dA = ∫_c^d ( ∫_a^b f(x, y) dx ) dy

   Здесь мы также используем непрерывность функции f(x, y),что позволяет менять порядок интегрирования.

Таким образом, мы доказали, что кратный интеграл по области D можно выразить как два повторных интеграла, что и требовалось показать.

Эта теорема является основой для дальнейших вычислений кратных интегралов и показывает, как можно упростить процесс интегрирования, разбивая его на более простые шаги.