Давайте рассмотрим функцию y = 4/x + x/4. Мы можем проанализировать эту функцию, выполнив несколько шагов, таких как нахождение производной, определение критических точек и исследование поведения функции.

Сначала мы можем привести функцию к более удобному виду для анализа:

• y = 4/x + x/4
• Это можно записать как y = 4/x + 1/4 * x.

Для нахождения критических точек функции, нам нужно найти производную y по x:

• Используем правило производной для дробей и произведений.
• Первая часть: производная 4/x = -4/x².
• Вторая часть: производная x/4 = 1/4.

Таким образом, производная функции будет:

• dy/dx = -4/x² + 1/4.

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

• -4/x² + 1/4 = 0.

Решим это уравнение:

• 1/4 = 4/x²
• x² = 16
• x = ±4.

Теперь мы можем исследовать функцию на интервалах, определяемых критическими точками x = -4 и x = 4:

• Для x < -4, например, x = -5: dy/dx = -4/25 + 1/4 < 0 (функция убывает).
• Для -4 < x < 4, например, x = 0: dy/dx = 1/4 > 0 (функция возрастает).
• Для x > 4, например, x = 5: dy/dx = -4/25 + 1/4 < 0 (функция убывает).

Из анализа знаков производной мы видим, что:

• В точке x = -4 функция достигает локального минимума.
• В точке x = 4 функция достигает локального максимума.

Также полезно исследовать пределы функции при x стремящемся к бесконечности и нулю:

• При x → ∞: y → 0.
• При x → 0: y → ∞.

Таким образом, мы провели полный анализ функции y = 4/x + x/4, нашли ее производную, критические точки и исследовали поведение функции. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!