Укажите уравнение окружности, центр которой совпадает с началом координат, а прямая 3x— 4y+ 20 = 0 является касательной к окружности

Другие предметы Колледж Уравнения окружности и касательные к окружности уравнение окружности начало координат касательная прямая 3x - 4y + 20 = 0 математика колледж Новый

Чтобы найти уравнение окружности, центр которой совпадает с началом координат, и которая касается заданной прямой, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Запишем уравнение окружности. Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид:

   x² + y² = R²

   где R - радиус окружности.
2. Найдем расстояние от центра окружности до прямой. Прямая задана уравнением 3x - 4y + 20 = 0. Чтобы найти расстояние от точки (0, 0) до этой прямой, используем формулу для расстояния от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0:

   Расстояние = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²)

   Подставим значения:
   • A = 3
   • B = -4
   • C = 20
   • x0 = 0
   • y0 = 0
   Получаем:

   Расстояние = |3*0 - 4*0 + 20| / √(3² + (-4)²) = |20| / √(9 + 16) = 20 / 5 = 4

3. Установим радиус окружности. Поскольку прямая является касательной к окружности, расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу R. Таким образом, R = 4.
4. Запишем окончательное уравнение окружности. Подставим значение радиуса в уравнение окружности:

   x² + y² = 4²

   x² + y² = 16

Таким образом, уравнение окружности, центр которой совпадает с началом координат и которая касается прямой 3x - 4y + 20 = 0, имеет вид:

x² + y² = 16