2025-08-04 03:58:41
Укажите все верные утверждения:
- Ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение АхАу-ху
- Ранг заданной квадратичной формы изменяется при переходе в новый базис.
- Квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы в некотором базисе положительны, и отрицательно определённой тогда и только тогда, когда главные миноры чередуют свои знаки, начиная с а11 < 0
- В любом базисе квадратичной форме соответствует диагональная матрица.
Другие предметы Колледж Квадратичные формы и их свойства линейная алгебра аналитическая геометрия ортогональный оператор скалярное произведение квадратичная форма положительно определённая форма главные миноры диагональная матрица новый базис утверждения линейной алгебры
2025-08-04 03:59:03
Давайте рассмотрим каждое из утверждений по отдельности и определим, какие из них являются верными.
-
Ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение.
Это утверждение верно. Ортогональные операторы, такие как вращения и отражения, сохраняют длины векторов и углы между ними, что означает, что они сохраняют скалярное произведение. Если A - ортогональный оператор, то для любых векторов x и y справедливо: (Ax, Ay) = (x, y), где ( , ) обозначает скалярное произведение.
-
Ранг заданной квадратичной формы изменяется при переходе в новый базис.
Это утверждение неверно. Ранг квадратичной формы остается неизменным при переходе к новому базису. Он определяется количеством линейно независимых векторов, и это свойство не зависит от выбора базиса.
-
Квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы в некотором базисе положительны, и отрицательно определённой тогда и только тогда, когда главные миноры чередуют свои знаки, начиная с a11 < 0.
Это утверждение частично верно. Квадратичная форма действительно положительно определённая, если все главные миноры положительны. Однако, для отрицательно определённой квадратичной формы, все главные миноры должны чередовать знаки, начиная с первого минорa (a11 < 0). Таким образом, это утверждение верно.
-
В любом базисе квадратичной форме соответствует диагональная матрица.
Это утверждение неверно. Не всякая квадратичная форма может быть приведена к диагональному виду в любом базисе. Однако, если мы имеем дело с симметричной матрицей, то существует базис, в котором квадратичная форма будет представлена диагональной матрицей, но это не обязательно справедливо для всех базисов.
Таким образом, верными являются следующие утверждения:
- Ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение.
- Квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы в некотором базисе положительны, и отрицательно определённой тогда и только тогда, когда главные миноры чередуют свои знаки, начиная с a11 < 0.