2025-08-04 03:59:37
Укажите все верные утверждения:
- В любом каноническом виде квадратичной формы количество слагаемых с положительными коэффициентами и с отрицательными коэффициентами сохраняется.
- Канонический базис существует только для отрицательно определённых квадратичных форм.
- Любую квадратичную форму, заданную в L, можно привести к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования
Другие предметы Колледж Квадратичные формы линейная алгебра аналитическая геометрия квадратичные формы канонический вид ортогональное преобразование колледж математические утверждения положительные коэффициенты отрицательные коэффициенты канонический базис
2025-08-04 03:59:51
Давайте разберем каждое из предложенных утверждений по отдельности и выясним, какие из них верны.
-
В любом каноническом виде квадратичной формы количество слагаемых с положительными коэффициентами и с отрицательными коэффициентами сохраняется.
Это утверждение верно. При приведении квадратичной формы к каноническому виду количество положительных и отрицательных коэффициентов действительно сохраняется. Это связано с тем, что канонический вид представляет собой упрощенное представление квадратичной формы, но не изменяет ее основные характеристики, такие как количество положительных и отрицательных собственных значений.
-
Канонический базис существует только для отрицательно определённых квадратичных форм.
Это утверждение неверно. Канонический базис может существовать не только для отрицательно определённых квадратичных форм, но и для положительно определённых, а также для форм, которые имеют смешанную определенность. Важно помнить, что для любой квадратичной формы можно найти канонический вид с помощью ортогонального преобразования.
-
Любую квадратичную форму, заданную в L, можно привести к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.
Это утверждение верно. Каждую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с использованием ортогональных преобразований. Это достигается за счёт нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы, соответствующей квадратичной форме, и дальнейшего преобразования базиса.
Итак, верные утверждения: первое и третье.