2025-08-04 04:02:17
Укажите все верные утверждения
- Матрицы операторов А. и сопряженного к нему А связанны соотношением А= (А)-1
- Для самосопряженного оператора все корни характеристического уравнения |А — LЕ| =0 мнимые.
- Оператор А является самосопряженным тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе пространства ему соответствует симметрическая матрица.
- Если для оператора А. существует оператор А такой, что для любых векторов х и у этого пространства выполняется равенство скалярных произведений (Ах)у=х(АУ), то оператор А* называется сопряженным к оператору А.
Другие предметы Колледж Операторы и матрицы в линейной алгебре линейная алгебра аналитическая геометрия матрицы операторов самосопряженные операторы характеристическое уравнение ортонормированный базис симметрическая матрица скалярные произведения сопряженные операторы свойства матриц
2025-08-04 04:02:32
Давайте рассмотрим каждое из предложенных утверждений и определим, какие из них являются верными.
-
Матрицы операторов A и сопряженного к нему A* связаны соотношением A = (A*)^-1.
Это утверждение неверно. На самом деле, для любого оператора A существует сопряженный оператор A*, и они связаны следующим образом: (Ax, y) = (x, A*y) для всех векторов x и y, где (., .) обозначает скалярное произведение. Связь между оператором и его сопряженным не подразумевает, что A = (A*)^-1.
-
Для самосопряженного оператора все корни характеристического уравнения |A - λE| = 0 мнимые.
Это утверждение неверно. Для самосопряженного оператора все собственные значения (корни характеристического уравнения) являются действительными, а не мнимыми. Это одно из основных свойств самосопряженных операторов.
-
Оператор A является самосопряженным тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе пространства ему соответствует симметрическая матрица.
Это утверждение верно. Оператор A является самосопряженным, если для всех векторов x и y выполняется (Ax, y) = (x, Ay). В ортонормированном базисе это условие эквивалентно тому, что матрица оператора A является симметрической.
-
Если для оператора A существует оператор A*, такой что для любых векторов x и y этого пространства выполняется равенство скалярных произведений (Ax)*y = x*(A*y), то оператор A* называется сопряженным к оператору A.
Это утверждение верно. Определение сопряженного оператора A* основано именно на этом свойстве скалярных произведений. Если это условие выполняется, то A* действительно является сопряженным к оператору A.
Итак, верные утверждения: третье и четвертое.