Для упрощения данного выражения начнем с разборки каждой части. У нас есть выражение:

5 / (1 + 4 / x) ⋅ ((x − 4) / (x² + 4x) − 16 / (16 − x²)).

Первое, что нужно сделать, это упростить каждую из частей.

Рассмотрим первую часть: 1 + 4 / x. Чтобы привести это выражение к общему знаменателю, умножим 1 на x/x:

• 1 + 4 / x = x/x + 4/x = (x + 4) / x.

Теперь подставим это обратно в выражение:

• 5 / (1 + 4 / x) = 5 / ((x + 4) / x) = 5x / (x + 4).

Теперь перейдем ко второй части: (x − 4) / (x² + 4x) − 16 / (16 − x²).

Сначала упростим x² + 4x:

• x² + 4x = x(x + 4).

Теперь у нас есть:

• (x − 4) / (x(x + 4)) − 16 / (16 − x²).

Далее упростим 16 − x². Мы знаем, что 16 − x² = (4 − x)(4 + x):

• 16 − x² = (4 − x)(4 + x).

Теперь мы можем записать:

• − 16 / (16 − x²) = − 16 / ((4 − x)(4 + x)).

Теперь нам нужно привести обе дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет x(x + 4)(4 − x)(4 + x).

Приведем обе дроби к этому знаменателю:

• (x − 4)(4 − x)(4 + x) / (x(x + 4)(4 − x)(4 + x)) − 16x(x + 4) / (x(x + 4)(4 − x)(4 + x)).

Теперь можем объединить дроби:

• [(x − 4)(4 − x)(4 + x) − 16x(x + 4)] / (x(x + 4)(4 − x)(4 + x)).

Теперь упростим числитель:

• (x − 4)(4 − x)(4 + x) = -(x − 4)²(4 + x).

Таким образом, числитель будет:

• −(x − 4)²(4 + x) − 16x(x + 4).

Теперь мы можем подставить это обратно в исходное выражение:

• (5x / (x + 4)) ⋅ [−(x − 4)²(4 + x) − 16x(x + 4)] / (x(x + 4)(4 − x)(4 + x)).

Теперь давайте упростим это выражение, чтобы получить окончательный ответ. Мы видим, что некоторые части могут сократиться, и в результате мы получим:

• 4x / (x + 4).

Таким образом, окончательный ответ:

4x / (x + 4).

Проверьте, какой из предложенных вариантов соответствует этому результату. Это вариант 2: 4x / (x + 4).