Упростите выражение 5 / (1 + 4 / x) ⋅ ((x - 4) / (x² + 4x) - 16 / (16 - x²))

1. 5 / (x + 4)
2. 4x / (x + 4)
3. 4x / (x − 4)
4. 5 / (x − 4)

Другие предметы Колледж Упрощение алгебраических выражений высшая математика колледж упрощение выражений дроби алгебра математические выражения колледж математика задачи по математике решение дробей Новый

Чтобы упростить данное выражение, давайте разберем его по частям. Начнем с выражения:

5 / (1 + 4 / x) ⋅ ((x - 4) / (x² + 4x) - 16 / (16 - x²))

Первым делом упростим первую часть:

• 5 / (1 + 4 / x) можно преобразовать, объединив дроби:
• 1 + 4 / x = (x + 4) / x, следовательно, 5 / (1 + 4 / x) = 5x / (x + 4).

Теперь перейдем ко второй части:

• Рассмотрим ((x - 4) / (x² + 4x) - 16 / (16 - x²)).
• Здесь x² + 4x можно разложить на множители: x(x + 4).
• А выражение 16 - x² можно записать как (4 - x)(4 + x).

Теперь перепишем вторую часть:

Таким образом, у нас есть:

((x - 4) / (x(x + 4)) - 16 / ((4 - x)(4 + x))

Теперь найдем общий знаменатель для двух дробей:

• Общий знаменатель будет равен x(x + 4)(4 - x)(4 + x).
• Перепишем дроби с общим знаменателем:
• Первая дробь: (x - 4)(4 - x)(4 + x)
• Вторая дробь: 16x(x + 4)

Теперь у нас есть:

((x - 4)(4 - x)(4 + x) - 16x(x + 4)) / (x(x + 4)(4 - x)(4 + x))

Упростим числитель:

• Раскроем скобки и упростим.

После упрощения числитель будет:

(x - 4)(4 - x)(4 + x) - 16x(x + 4) = -((x - 4)(4 + x) + 16x(x + 4))

Теперь, подставив это обратно в выражение, получаем:

5x / (x + 4) ⋅ [-((x - 4)(4 + x) + 16x(x + 4)) / (x(x + 4)(4 - x)(4 + x))]

На этом этапе можно заметить, что (x + 4) в числителе и знаменателе сократятся:

5x / (x + 4) ⋅ [-((x - 4)(4 + x) + 16x) / (x(4 - x)(4 + x))] = -5x((x - 4)(4 + x) + 16x) / (x(4 - x))

Теперь упростим:

1. Сократим на x, если x ≠ 0:

-5((x - 4)(4 + x) + 16) / (4 - x)

Это и будет окончательный ответ. Мы упростили выражение, и теперь оно выглядит следующим образом:

-5((x - 4)(4 + x) + 16) / (4 - x)