2025-02-27 06:52:40
Уравнение нормали к поверхности х2 + у2 = 4 в точке (√ 2; √ 2; О) есть:
- х= у= z
- x/√2 = у/√ 2 = z√ 2
- х - √ 2 = у - √ 2 = z/ 0
Другие предметы Колледж Уравнения нормалей и касательных к поверхности уравнение нормали поверхность х2 + у2 = 4 точка колледж математика координаты вектор геометрия
2025-07-19 10:06:52
Чтобы найти уравнение нормали к поверхности, сначала определим, что представляет собой данная поверхность. Уравнение x² + y² = 4 описывает круг с радиусом 2 в плоскости Oxy. Однако, поскольку у нас нет зависимости от z, это уравнение описывает цилиндр, ось которого совпадает с осью Oz.
Теперь найдем нормаль к этой поверхности в заданной точке (√2, √2, 0). Для этого мы воспользуемся градиентом функции, описывающей поверхность. Градиент функции f(x, y, z) = x² + y² - 4 будет перпендикулярен касательной плоскости и, следовательно, совпадет с направлением нормали.
Шаги для нахождения градиента:
- Запишите функцию поверхности: f(x, y, z) = x² + y² - 4.
- Найдите частные производные функции:
- ∂f/∂x = 2x
- ∂f/∂y = 2y
- ∂f/∂z = 0
- Подставьте координаты точки (√2, √2, 0) в частные производные, чтобы найти градиент в этой точке:
- ∂f/∂x = 2√2
- ∂f/∂y = 2√2
- ∂f/∂z = 0
Таким образом, градиент в точке (√2, √2, 0) равен (2√2, 2√2, 0). Это и есть вектор нормали к поверхности в данной точке.
Теперь составим уравнение нормали, используя параметрическое уравнение прямой:
- x = x₀ + at
- y = y₀ + bt
- z = z₀ + ct
Где (x₀, y₀, z₀) - точка на поверхности, а (a, b, c) - координаты вектора нормали. Подставляем значения:
- x = √2 + 2√2t
- y = √2 + 2√2t
- z = 0
Это и есть уравнение нормали к поверхности в точке (√2, √2, 0).
